Enunciado

Determine a transformada de Laplace do sinal na figura

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui é escrever essas duas retas aí em forma de função. Ora, toda reta pode ser escrita assim:

y = a t + b

Passo 2

Para a primeira reta (crescente), sabemos dois pontos dela em particular: 0 ,   0 e 2 ,   10 . Então...

0 ,   0       →                   0 = 0 + b       o u       b = 0

2 ,   10       →                   10 = 2 a + b             →           c o m o   b = 0     →

2 a = 10     →           a = 5

Então a primeira reta é

y = 5 t

Passo 3

Para a segunda reta (decrescente) temos os pontos: 2 ,   10 e 6 ,   0 :

2 ,   10       →                   10 = 2 a + b  

  6 ,   0       →                   0 = 6 a + b  

Isolando b na segunda equação...

b = - 6 a

Então...

10 = 2 a - 6 a     →         10 = - 4 a     →

a = - 5 2

E

b = - 6 a = 15

Então a segunda reta é...

y = - 5 2 t + 15

Passo 4

Com a equação das retas encontradas, a gente tem que descrever a figura em uma função f t usando o conceito de degraus...

Bem, de - ∞ até 0 , a função f t vale 0 e de 0 até 2 ela passa ser igual a equação da reta. Se a gente multiplicar então a equação da primeira reta por um degrau começando em 0 ...

f t = 5 t u t - 0

A gente ganha o que a gente falou aqui: “de - ∞ até 0 , a função f t vale 0 e de 0 até 2 ela passa ser igual a equação da reta”. Afinal, o degrau tem a seguinte definição:

u t - c = 0 ,     t < c 1 ,                   t ≥ c

Assim, antes de t = 0 , f t = 0 e depois de t = 0 , o degrau vira 1 e f t = 5 t . Mas atenção! f t só vale 5 t até t = 2 . Depois desse ponto f t para de ser essa reta e passa a ser a outra reta:

  • Parar de ser a reta crescente, significa que f t volta a ser 0 somando nesse instante t = 2 o negativo:
  • f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 2

    Perceba que antes de t = 2 , nada mudou, pois u t - 2 = 0 , mas depois de t = 2 , u t - 2 = 1 e f t vira 0 , como queríamos.

  • Mas nesse mesmo instante que paramos de ser uma reta, a gente passa a ser outra, então...

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 2 + - 5 2 t + 15 u t - 2

Pode conferir: t > 2

f t = 5 t - 5 t + - 5 2 t + 15 = - 5 2 t + 15

Viu só! Depois de t = 2 a função vira a reta decrescente.

Mas atenção novamente! A função não é a reta decrescente para sempre! Após t = 6 ela para de ser essa reta novamente ( f t = 0 ). Como podemos parar uma função em notação de degrau? Isso mesmo, acrescentando o inverso no tempo de parada ( t = 6 ):

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 2 + - 5 2 t + 15 u t - 2 - - 5 2 t + 15 u t - 6

PRONTINHO! Como verificamos cada trecho (de t indo de - ∞ até ), a função está completamente descrita!

Passo 5

Finalmente, podemos fazer o que se pede: calcular a transformada de Laplace da função (mas antes vamos só simplificar a função f ):

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 2 - 5 2 t u t - 2 + 15 u t - 2 + 5 2 t u t - 6 - 15 u t - 6   →

f t = 5 t u t - 0 - 15 2 t u t - 2 + 15 u t - 2 + 5 2 t u t - 6 - 15 u t - 6   →

Aplicando Laplace...

L f t = L 5 t u t - 0 - 15 2 t u t - 2 + 15 u t - 2 + 5 2 t u t - 6 - 15 u t - 6 =

5 L t u t - 0 - 15 2 L t u t - 2 + 15 L u t - 2 + 5 2 L t u t - 6 - 15 L u t - 6

Toda vez que tivermos t multiplicando, podemos pensar assim:

L t g t = - d d s L g t

Então, como a transformada do degrau é L u t - c = e - c s / s ...

L f t = 5 - d d s e 0 s - 15 2 - d d s e - 2 s s + 15 e - 2 s s + 5 2 - d d s e - 6 s s - 15 e - 6 s s     →

L f t = 5 - d d s 1 s - 15 2 - d d s e - 2 s s + 15 e - 2 s s + 5 2 - d d s e - 6 s s - 15 e - 6 s s   →

Essa primeira derivada é tranquila...

L f t = 5 s 2 - 15 2 - d d s e - 2 s s + 15 e - 2 s s + 5 2 - d d s e - 6 s s - 15 e - 6 s s   →

Para essa segunda derivada, podemos aplicar a regra da fração...

L f t = 5 s 2 + 15 2 e - 2 s ' s - e - 2 s s ' s 2 + 15 e - 2 s s + 5 2 - d d s e - 6 s s - 15 e - 6 s s   →

L f t = 5 s 2 + 15 2 - 2 e - 2 s s - e - 2 s s 2 + 15 e - 2 s s + 5 2 - d d s e - 6 s s - 15 e - 6 s s   →

Fazendo o mesmo para essa última derivada...

L f t = 5 s 2 + 15 2 - 2 e - 2 s s - e - 2 s s 2 + 15 e - 2 s s - 5 2 - 6 e - 6 s s - e - 6 s s 2 - 15 e - 6 s s   →

Simplificando um pouquinho mais...

L f t = 5 s 2 + 15 2 - 2 e - 2 s s - e - 2 s s 2 + 15 e - 2 s s - 5 2 - 6 e - 6 s s - e - 6 s s 2   - 15 e - 6 s s   →

L f t = 5 s 2 - 15 e - 2 s s - 15 2 e - 2 s s 2 + 15 e - 2 s s + 15 e - 6 s s + 5 2 e - 6 s s 2 - 15 e - 6 s s   →

L f t = 5 s 2 - 15 2 e - 2 s s 2 + 5 2 e - 6 s s 2 =

10 - 15 e - 2 s + 5 e - 6 s 2 s 2

Resposta

10 - 15 e - 2 s + 5 e - 6 s 2 s 2

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