Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos - Capítulo 18.Problemas - Ex. 29

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desse livro

Determine as transformadas de Fourier inversas de:

  1.   F ω = 4 δ ω + 3 + δ ω + 4 δ ( ω - 3 )
  2. G ω = 4 u ω + 2 - 4 u ( ω - 2 )
  3. H ω = 6 cos ⁡ 2 ω

Passo 1

Vamos lá galera!! Antes da gente começar, é sempre bom lembrar que existem outras formas de se achar a transformada inversa de Fourier (como por exemplo pelo método da integral). Mas para esse caso, sempre é bom acompanhar com a tabelinha de identidades e transformadas inversas já conhecidas, pois isso facilita muito o seu trabalho e ajuda a memorizar. Fechou? Então vamos pra cima!

Passo 2

Primeiro, temos que para o item a),

f t = F - 1 δ ω + F - 1 [ 4 δ ω + 3 + 4 δ ( ω - 3 )

Por tabela,

= 1 2 π + 4 cos ⁡ 3 t π = 1 2 π   ( 1 + 8 cos ⁡ 3 t )

Passo 3

Para o item b), vamos usar uma propriedade muito conhecida!

Se h t = i t + 2 - u t - 2 ,     H ω = 2 s i n 2 ω ω

Portanto,

G ω = 4 H ω → g t = 1 2 π ⋅ 8 sin ⁡ 2 t t

g t = 4 sin ⁡ 2 t π t

Passo 4

Para o item c), teremos que:

cos ⁡ ( a t ) = π δ ω + a + π δ ( ω - a )

Usando a propriedade reversa,

2 πcos ⁡ 2 ω ↔ π δ t + 2 + π δ ( t - 2 )

Para o nosso caso,

F - 1 6 cos ⁡ 2 ω = 3 δ t + 2 + 3 δ ( t - 2 )

Resposta

a ) 1 2 π   ( 1 + 8 cos ⁡ 3 t )  

b ) 4 sin ⁡ 2 t π t

c ) 3 δ t + 2 + 3 δ ( t - 2 )

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