Enunciado

Determine as transformadas de Laplace das funções na figura:

Passo 1

Bem, para começo de conversa, observe aqui que a função h t é periódica de período igual a 2 :

h t = h t + 2

Se a gente considerar como sendo x t apenas o trechinho que depois vai se repetir:

De acordo com a teoria de transformadas de funções periódicas, a transformada da função f será:

H s = 1 1 - e - 2 s X s

Então agora temos que encontrar a transformada da função X t ! Bora?

Passo 2

Primeiramente, quem é a função x t de uma forma matematicamente falando? Bem, ela é um pedacinho de reta crescente até 1 , e depois ela é uma reta decrescente até t = 2 . Finalmente ele é 0 depois disso eternamente, certo?

x t = r e t a   c r e s c e n t e ,                 0 ≤ t ≤ 1 r e t a   d e c r e s c e n t e ,         1 < t ≤ 2 0 ,                 t > 2

E quem são essas retas?

Bem, podemos encontrar a equação delas através de 2 pontos conhecidos lembrando-se de que a equação da reta é y = a t + b .  

Os dois pontos conhecidos da primeira são 0 ,   1 e 1 ,   3 :

0 ,   0             →                 1 = 0 ⋅ a + b

1 ,   3             →                 3 = 1 ⋅ a + b

Da primeira tiramos que b = 1 e da segunda tiramos que a = 3 - b = 2 . Então...

r e t a   c r e s c e n t e = y = 2 t + 1

Para a reta decrescente os pontos conhecidos são 1 ,   3 e 2 ,   1

1 ,   3             →                 3 = 1 ⋅ a + b

2 ,   1             →                 1 = 2 ⋅ a + b

Onde tiramos dessa vez que a = - 2 e b = 5 ...

r e t a   d e c r e s c e n t e = y = - 2 t + 5

Logo, podemos então falar que x é...

x t = 2 t + 1 ,                 0 ≤ t ≤ 1 - 2 t + 5 ,         1 < t ≤ 2 0 ,                 t > 2

Agora, para termos a Laplace dessa função, temos que coloca-la em notação de degrau! Bora?

Passo 3

Bem, perceba que antes de t = 0 , a função x é 0 - não é falado no problema, mas sabemos disso já que h t só tem definição de 0 em diante. Depois de t = 0 , ela passa a ser a r e t a   c r e s c e n t e , podemos escrever isso em forma de degrau:

x t = 2 t + 1 u t

Mas ela não é a reta para sempre, afinal em t = 1 , ela para de crescer se transforma em na r e t a   d e c r e s c e n t e :

x t = 2 t + 1 u t - 2 t + 1 u t - 1 + - 2 t + 5 u t - 1

OBS: Parar significa tornar x igual a 0 , por isso subtraímos 2 t + 1 u t - 1 , mas nesse mesmo momento, x se torna reta decrescente, por isso adicionamos - 2 t + 5 u t - 1 .

Depois de t = 2 ela para de ser a reta decrescente novamente e se torna 0 :

x t = 2 t + 1 u t - 2 t + 1 u t - 1 + - 2 t + 5 u t - 1 - - 2 t + 5 u t - 2

Prontinho! Depois de t = 2 a x é 0 para todo o sempre! Pode verificar .

Passo 4

Finalmente podemos encontrar a Laplace de x t ...

L x t = L 2 t + 1 u t - 2 t + 1 u t - 1 + - 2 t + 5 u t - 1 - - 2 t + 5 u t - 2

Ora bolas, sabemos que a transformada de função vezes o degrau é da seguinte maneira:

L x t - c u t - c = e - c s L x t

Então precisamos encontrar esse formato aí em todas elas! O que vamos fazer é alterar esses números somando o t para que se torne o que a gente quer...

L x t = L 2 t + 1 u t - 2 t - 2 + 3 u t - 1 + - 2 t + 2 + 3 u t - 1 - - 2 t + 4 + 1 u t - 2 →

L x t = L 2 t + 1 u t - 2 t - 2 u t - 1 - 3 u t - 1 + - 2 t + 2 u t - 1 + 3 u t - 1 - - 2 t + 4 u t - 2 - u t - 2

Então, colocando 2 em evidência...

L x t = L 2 t + 1 u t - 2 t - 1 u t - 1 - 3 u t - 1 - 2 t - 1 u t - 1 + 3 u t - 1 + 2 t - 2 u t - 2 - u t - 2 =

L x t = L 2 t + 1 u t - 2 t - 1 u t - 1 - 2 t - 1 u t - 1 + 2 t - 2 u t - 2 - u t - 2 =

Então, aplicando a fórmula...

L x t = e 0 L 2 t + 1 - 2 e - s L t - 2 e - s L t + 2 e - 2 s L t - e - 2 s L 1

L x t = e 0 2 s 2 + 1 s - 2 e - s s 2 - 2 e - s s 2 + 2 e - 2 s s 2 - e - 2 s s

L x t = 2 s 2 + s s 2 - 4 e - s s 2 + 2 e - 2 s s 2 - s e - 2 s s 2

Colocando todo mundo com o mesmo denominador...

X s = 2 + s - 4 e - s + 2 e - 2 s - s e - 2 s s 2

Passo 5

Então, podemos concluir que a Laplace de funções periódicas como a f é...

G s = 1 1 - e - 2 s X s =

2 + s - 4 e - s + 2 e - 2 s - s e - 2 s 1 - e - 2 s s 2

Resposta

2 + s - 4 e - s + 2 e - 2 s - s e - 2 s 1 - e - 2 s s 2

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