Um dipolo elétrico ideal está localizado na origem e aponta na direção z, como na Figura 3.36. Uma carga elétrica é liberada do repouso em um ponto no plano xy. Mostre que ela balança para a frente e para trás em um arco semicircular, como se fosse um pêndulo sustentado na origem. [O crédito deste resultado encantador é de R. S. Jones, Am. J. Phys. 63, 1042 (1995).]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Podemos partir de

F = q E

Substituindo o campo, temos que:

F = q p 4 π ϵ 0 r 3 ( 2 c o s θ r ^ + s i n θ θ ^ )

Agora considerando o pendulo: F = - m g z ^ - T r ^ , onde temos que:

T - m g c o s ϕ = m v 2 l e m g l c o s ϕ = 1 2 m v 2 → v 2 = 2 g l c o s ϕ

Mas como temos:

c o s ϕ = - c o s θ

Assim:

T = m g - c o s θ + m l 2 g l c o s θ = - 3 m c o s θ

E assim, temos:

F = - m g c o s θ r ^ - s i n θ θ ^ + 3 m g c o s θ r ^ = m g ( 2 c o s θ r ^ + s i n θ θ ^ )

Esta força total é tal que mantém o pêndulo em um arco circular, e é idêntica à força sobre q no campo de um dipolo, com m g ↔ q p 4 π ϵ 0 l 3 . Evidentemente a carga q também irá executar movimento circular, como se estivesse em uma corda de comprimento fixo l .

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

Desenvolvimento no passo 1.