Um dipolo magnético estacionário, m = m   z ^ , está situado acima de uma corrente superficial uniforme e infinita K = K   x ^

  1. Encontre o torque no dipolo usando a equação 6.1
  2. Suponha que a corrente superificl consiste de uma carga superficial de densidade uniforme σ , movendo à velocidade v = v x ^ de forma que K = σ v , e o dipolo magnético consiste de uma linha de carga de densidade λ , circulando em velocidade v (o mesmo v) em torno de uma espira quadrada de lado l, como mostrado, de forma que m = λ v l 2 . Examine a mesma configuração do ponto de vista do sistema S - , movendo-se na direção x à velocidade v. Em S - a carga superficial está em repouso, de forma que não gera, campo magnético. Mostre que, nesse sistema, a espira de corrente tem um momento de dipolo elétrico resultante, usando a equação 4.4

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Temos na equação 5.56 o campo elétrico de uma espira que é:

B = - μ 0 2     K   y ^

Assim, temos pela equação 6.1 o momento de dipolo:

N = m × B

De forma que:

N = m   x ^ × - μ 0 2     K   y ^

N =   - μ 0 2   m   K     z ^ ×   y ^

N = μ 0 2   m   K     x ^

Substituindo m e K

N = μ 0 2   λ v l 2 σ v = μ 0 2     l 2 v 2 λ σ   x ^      

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

Com cargas na parte da frente com λ 0 λ = γ   λ 0

E cargas na parte de trás λ - = γ -   λ 0 com v - = 2 v 1 + v 2 c 2 , assim:

γ - = 1 1 - v 2 - c 2 = 1 1 - 2 v 1 + v 2 c 2 2 c 2 = 1 1 - 4 v 2 c 2 1 + v 2 c 2 2 =

1 + v 2 c 2 1 + 2 v 2 c 2 + v 4 c 4 - 4 v 2 c 2 = 1 + v 2 c 2 1 - 2 v 2 c 2 + v 4 c 4 = 1 + v 2 c 2 1 - v 2 c 2

Mas γ 2 = 1 1 - v 2 c 2

γ - = γ 2 1 + v 2 c 2

Sabemos que a densidade de carga na parte de trás é

λ - = q + L

Sendo L o comprimento L = l γ , assim:

q + = λ - l γ

Sabemos que γ -   λ = λ -   γ →   λ - = γ - λ γ

q + = γ - λ γ   l γ = γ 2 1 + v 2 c 2 1 γ 2     l = λ l   1 + v 2 c 2

E na parte da frente:

q - = λ 0   l γ = l γ   λ γ = λ l γ 2

Assim o momento de dipolo:

p = q +   l 2   y ^ - q - l 2   y ^ = λ l   1 + v 2 c 2 l 2       y ^ - λ l γ 2 l 2 = λ l 2 2 1 + v 2 c 2 - 1 + v 2 c 2 y ^ = λ l 2 2 2 v 2 c 2 =   l 2 λ v 2 c 2 y ^      

Passo 3

O campo elétrico da espira é:

E = σ 0 2 ϵ 0   z ^

Assim, o momento de dipolo é:

N = p × E  

N = l 2 λ v 2 c 2 y ^ × σ 0 2 ϵ 0   z ^

N = l 2 λ v 2 c 2 σ 0 2 ϵ 0   y ^ × z ^

N = l 2 λ v 2 c 2 σ 0 2 ϵ 0   x ^

Resposta

Para a)

N = μ 0 2     l 2 v 2 λ σ   x ^      

Para b)

N = l 2 λ v 2 c 2 σ 0 2 ϵ 0   x ^