Dois fios de comprimento infinito dispostos paralelamente ao eixo x têm densidades de carga uniforme + λ e - λ (figura 2.54).

(a) Encontre o potencial em qualquer ponto (x, y, z) usando a origem como referência.

(b) Mostre que as superfícies equipotenciais são cilindros circulares e encontre o eixo e o raio do cilindro que correspondem a um dado potencial V 0

Passo 1

Faaala, galera! Bora pra mais uma. Inicialmente, para encontrar o potencial para o potencial em qualquer ponto, precisamos lembrar da expressão do campo elétrico:

E = 1 4 π ϵ 0 2 λ s s ^       → e m   q u e   s   é   o   p o n t o   d e   r e f e r ê n c i a

Aplicando essa expressão na equação do potencial elétrico e considerando um ponto de referência a (origem no nosso caso), teremos:

V ( s ) =   - ∫ a s 1 4 π ϵ 0 2 λ s ^   d s ^

Resolvendo essa integral, teremos:

V s = - 1 4 π ϵ 0 2 λ ln ⁡ s a

V s = - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ s a

Com isso, substituído os valores de λ , teremos:

Para + λ :

V + = - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ s a       →     s +

Para - λ :

V - = + λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ s a       →     s -

Logo, o potencial total será dador, por:

V = λ 2 π ϵ 0   l n   s - s +  

Como queremos para um ponto qualquer ( x ,   y ,   z ) , teremos que encontrar expressões para as distâncias s -   e   s + . Para encontrarmos essas expressões, podemos usar o esquema apresentado no inicio da página para chegarmos a:

s + = y - a 2 + z 2

s - = y + a 2 + z 2

E agora, substituindo essas expressões na equação que encontramos para o potencial total, teremos:

V x ,   y ,   z = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ y + a 2 + z 2 y - a 2 + z 2 = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ y + a 2 + z 2 y - a 2 + z 2

V x ,   y ,   z = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ y + a 2 + z 2 y - a 2 + z 2

Passo 2

Agora que temos a expressão para o potencial em qualquer ponto, vamos igualar a equação do potencial a 0 (já que na superfície equipotencial não existe diferença de potencial):7

0 = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ y + a 2 + z 2 y - a 2 + z 2  

E agora aplicando o exponencial e em ambos os lados e rearrumando, teremos:

y + a 2 + z 2 y - a 2 + z 2 = e 4 π ϵ 0 V 0 λ = k = c o n s t a n t e

Com essa expressão, podemos passar o denominador para o outro lado multiplicando o k, para ficarmos com:

y 2 + 2 a y + a 2 + z 2 = k ( y 2 - 2 a y + a 2 + z 2 )

Passando os termos encontrados na direita para a esquerda da equação, teremos:

y 2 + 2 a y + a 2 + z 2 - k y 2 - 2 a y + a 2 + z 2 = 0

E rearrumando agora a equação que obtivemos:

y 2 k - 1 + z 2 k - 1 + a 2 k - 1 - 2 a y k + 1 = 0

Dividindo os dois lados por ( k - 1 ) :

y 2 + z 2 + a 2 - 2 a y k + 1 k - 1 = 0             ( 1 )

Agora, podemos comparar essa equação com a equação de um círculo centrado em ( y 0 , 0 ) de raio R , que tem a seguinte forma:

y - y o 2 + z 2 = R 2

Ou expandindo o termo y - y 0 2 :

y 2 + z 2 + y 0 2 - R 2 - 2 y y 0 = 0

Comparando essa expressão com a equação (1) que obtivemos para as equipotenciais, podemos ver que elas são equivalentes, com:

y 0 = a ( k + 1 ) ( k - 1 )

Também podemos fazer a seguinte equivalência:

a 2 = y 0 2 - R 2

Isolando R :

R 2 = y 0 2 - a 2

Agora substituindo o y 0   encontrado anteriormente nessa expressão, vamos ter:

R 2 = a 2 k + 1 k - 1 2 - a 2 = a 2 ( k 2 + 2 k + 1 - k 2 + 2 k - 1 ) ) k - 1 2 =   a 2 4 k k - 1 2

Logo, o raio R será:

R = 2 a k | k - 1 |

Agora, para colocarmos y 0 e R em termos de V 0 basta substituirmos a constante k   pela exponencial do início ( e 4 π ϵ 0 V 0 λ   ) e com isso, teremos:

y 0 = a e 4 π ϵ 0 V 0 λ + 1 e 4 π ϵ 0 V 0 λ - 1 = a e 2 π ϵ 0 V 0 λ + e - 2 π ϵ 0 V 0 λ e 2 π ϵ 0 V 0 λ - e - 2 π ϵ 0 V 0 λ = acoth ⁡ 2 π ϵ 0 V 0 λ

E:

R = 2 a e 2 π ϵ 0 V 0 λ e 4 π ϵ 0 V 0 λ - 1 = a 2 ( e 2 π ϵ 0 V 0 λ - e - 2 π ϵ 0 V 0 λ ) = a s e n h 2 π ϵ 0 V 0 λ = a c s h   2 π ϵ 0 V 0 λ

Ou seja:

y 0 = acoth ⁡ 2 π ϵ 0 V 0 λ

R = a c s h   2 π ϵ 0 V 0 λ

Que denotam um cilindro.

E aqui chegamos ao fim da questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

a)

V x ,   y ,   z = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ y + a 2 + z 2 y - a 2 + z 2

b)

y 0 = acoth ⁡ 2 π ϵ 0 V 0 λ

R = a c s h   2 π ϵ 0 V 0 λ