Enunciado

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como determinar a transformada de Fourier de uma diversidade de funções que variam no tempo (exemplifique com pelo menos três funções).

Passo 1

Galera, vamos resolver a seguinte questão: “encontre a transformada de Fourier das seguintes funções:

  1. h t = e - 2 t cos ⁡ π t u ( t - 1 )
  2. p t = e - 2 t sin ⁡ 4 t u ( - t )

Vamos lá para a letra (a). Seja x t = e - 2 t cos ⁡ π t u t e y t = x t - 1 = e - 2 t - 1 cos ⁡ π t - 1 u ( t - 1 ) . No entanto,

h t = - e - 2 y t

Usando a propriedade de deslocamento no tempo e a tabela 18.2 do livro, a transformada de Fourier de h ( t ) pode ser obtida por:

H ω = F - e - 2 y t

H ω = - e - 2 e - j ω 2 + j ω 2 + j ω 2 + π 2

Passo 2

Agora, a letra (b). Seja x t = e 2 t s e n - 4 t u t = - e 2 t s e n 4 t u ( t ) . Logo,

p t = x ( - t )

Mas a transformada de Fourier de x ( t ) é dada por:

X ω = - 4 - 2 + j ω 2 + 4 2

Portanto, usando a propriedade de inversão de tempo e a tabela 18.2 , a transformada de Fourier e p ( t ) pode ser obtida por:

P ω = F - x - t

P ω = - 4 - 2 - j ω 2 + 4 2

P ω = - 4 2 + j ω 2 + 16

Resposta

  1. H ω = - e - 2 e - j ω 2 + j ω 2 + j ω 2 + π 2
  2. P ω = - 4 2 + j ω 2 + 16
Ver Outros Exercícios desse livro