Enunciado

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como determinar a transformada de Laplace de diferentes funções que variam no tempo.

Passo 1

Bem, esse é um problema no qual devemos usar a criatividade para desenvolver um problema por nós mesmos. Bem, existem várias formas de resolver esse item, já que cada pessoa pensa de uma forma diferente, mas eu, Responde Aí, desenvolveria o seguinte problema:

Encontre a transformada de Laplace de:

g t = t u t

De duas formas distintas.

Passo 2

Bem, a primeira forma de fazer isso é calculando pela definição:

G s = ∫ 0 ∞ g t e - s t d t

Só que essa forma é “chaaaata”, pois temos que calcular integral, veja bem:

G s = ∫ 0 ∞ t u t ⋅ e - s t d t

Ora, o degrau u t é 1 para t ≥ 0 , e esse é o nosso caso (observe o imite de integração):

G s = ∫ 0 ∞ t e - s t d t

Fazendo uma integração por partes...

u = t       e           d v = e - s t d t

d u = d t       e           v = - e - s t s

∫     t e - s t d t = - e - s t s t - ∫     - e - s t s d t     →

∫     t e - s t d t = - e - s t s t + 1 s ∫     e - s t d t     →

∫     t e - s t d t = - e - s t s t - e - s t s 2  

Substituindo os limites de integração...

∫ 0 ∞ t e - s t d t = - e - s t s t - e - s t s 2 0 ∞ =

lim b → ∞ ⁡ - e - s b s b - e - s b s 2 - - 1 s ⋅ 0 - 1 s 2 =

1 s 2 + lim b → ∞ ⁡ - b e - s b s - e - s b s 2

Passando essa exponencial para baixo invertendo o sinal da expoente...

1 s 2 + lim b → ∞ ⁡ - b s e s b - 1 s 2 e s b

Nos dois casos, como a exponencial cresce rapidamente (muito mais que o b ), o denominador vai para o infinito rápido o que leva essas frações para 0 :

1 s 2 + 0 - 0 =

G s = 1 s 2

Viu só! Muito chato de se resolver, não é mesmo? Agora vamos ver de outra forma!

Passo 3

De acordo com as propriedades que vimos, a transformada de uma função vezes a função degrau é dada assim:

L u c t ⋅ h t - c = e - c s ⋅ L h t  

No nosso caso, c = 0 :

g t = t u t

Então...

L u t ⋅ h t - 0 = L u t h t = e 0 ⋅ L h t =

L h t

Então, considerando h t = t ...

L t u t = L t =

E a Laplace de t de acordo com a tabelinha de Laplace é...

1 s 2

Conclusão: Existem várias propriedades que vieram da definição que ajudam muito. Sabe-las é importante, pois você pode concluir o problema em 4 linhas de conta o que levaria 20 pela definição!

Eu, Responde Aí, espero ter atingido o propósito que era de ajudar muitos alunos com esse problema que criei. Obrigado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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