Enunciado

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor como determinar a transformada de Laplace inversa.

Passo 1

Existem várias formas de fazer essa tarefa, mas eu, Responde aí, acho que um problema interessante que pode nos ajudar a entender a aplicação de Laplace inversa é o seguinte:

PROBLEMA: Visto que a transformada de Laplace de...

L cosh ⁡ a t = s s 2 - a 2

Encontre a função f t que gera...

F s = s 3 s 2 - 4

Passo 2

Bem, para encontrar a transformada de Laplace inversa de uma função F s , devemos primeiro simplificar e colocar no formato que a gente sabe voltar. Então no nosso caso, devemos colocar a nossa F s nesse formato aqui...

s s 2 - a 2

Ok! A primeira coisa que vamos fazer então é colocar o 3 que multiplica o s 2 em evidência, assim surge s 2 sozinho!

F s = s 3 s 2 - 4   →

F s = s 3 s 2 - 4 3 →

Agora temos que encontrar o a . Esse 4 / 3 é a 2 , então a vai ser a raiz desse cara...

F s = s 3 s 2 - 4 3 2   →

F s = s 3 s 2 - 4 3 2   →

Ora, racionalizando o denominador para tirar essa raiz de 3 de baixo...

F s = s 3 s 2 - 2 3 ⋅ 3 3 2   →

F s = s 3 s 2 - 2 3 3 2  

Prontinho! Chegamos ao formato que queríamos. Esse 3 do lado de fora é 1 3 ...

F s = 1 3 ⋅ s s 2 - 2 3 3 2

Uma constante!

Aplicando a transformada inversa para determinar f t ...

f t = L - 1 F s =

1 3 L - 1 s s 2 - 2 3 3 2

E se elembrando então quem é a transformada que gera essa F s aí...

L cosh ⁡ a t = s s 2 - a 2

Podemos trocar a por 2 3 3 , onde vemos que a função f t que gera aquela F s é...

f t = 1 3 L - 1 s s 2 - 2 3 3 2 =

1 3 ⋅ cosh ⁡ 2 3 3 t 1 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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