Encontre o ângulo θ m a x no qual a radiação máxima é emitida, no Exemplo 11.3 (veja a Figura 11.14). Mostre que para velocidades ultrarrelativísticas ( v próxima de c ), θ m a x ≅ ( 1 - β ) / 2 . Qual a intensidade da radiação nessa direção máxima (no caso ultrarrelativístico), em proporção à mesma quantidade para uma partícula momentaneamente em repouso? Dê sua resposta em termos de γ .

Passo 1

Salve, meu caro estudante!

Bom, para responder essa questão temos que de acordo com a Equação 11.74, o máximo ocorre em

d d θ sin 2 ⁡ θ 1 - β cos ⁡ θ 5 = 0

Assim,

2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 1 - β cos ⁡ θ 5 - 5 sin 2 ⁡ θ β sin ⁡ θ 1 - β cos ⁡ θ 6 = 0

⇒ 2 cos ⁡ θ 1 - β cos ⁡ θ = 5 β sin 2 ⁡ θ = 5 β ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) ;

2 cos ⁡ θ - 2 β cos 2 ⁡ θ = 5 β - 5 β cos 2 ⁡ θ , ou 3 β cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ - 5 β = 0

Então,

cos ⁡ θ = - 2 ± 4 + 60 β 2 6 β = 1 3 β ± 1 + 15 β 2 - 1

Queremos o sinal de mais, desde θ m → 90 ° ( cos ⁡ θ m = 0 ) quando β → 0 (Fig 11.12):

θ m a x = cos - 1 ⁡ 1 + 15 β 2 - 1 3 β

Passo 2

Para v ≈ c ,   β ≈ 1 ; escreva β = 1 - ϵ (onde ϵ ≪ 1 ), e expanda para a primeira ordem em ϵ :

1 + 15 β 2 - 1 3 β = 1 3 1 - ϵ 1 + 15 1 - ϵ 2 - 1 ≅ 1 3 1 + ϵ 1 + 15 1 - 2 ϵ - 1

= 1 3 1 + ϵ 16 - 30 ϵ - 1 = 1 3 1 + ϵ 4 1 - 15 ϵ / 8 - 1

= 1 3 1 + ϵ 4 1 - 15 16 ϵ - 1 = 1 3 1 + ϵ 3 - 15 4 ϵ

= 1 + ϵ 1 - 5 4 ϵ ≅ 1 + ϵ - 5 4 ϵ = 1 - 1 4 ϵ

Evidentemente θ m a x ≈ 0 , então cos ⁡ θ m a x ≅ 1 - 1 2 θ m a x 2 = 1 - 1 4 ϵ ⇒ θ m a x 2 = 1 2 ϵ , ou θ m a x ≅ ϵ / 2 = 1 - β / 2 .

Passo 3

f ≡ d P / d Ω ​ θ m u r d P / d Ω ​ θ m r e s t

= sin 2 ⁡ θ m a x 1 - β cos ⁡ θ m a x 5 u r

Agora sin 2 ⁡ θ m a x ≅ ϵ / 2 , e 1 - β cos ⁡ θ m a x ≅ 1 - 1 - ϵ 1 - 1 4 ϵ ≅ 1 - 1 - ϵ - 1 4 ϵ = 5 4 ϵ .

Então,

f = ϵ / 2 5 ϵ / 4 5   = 4 5 5 1 2 ϵ 4

Mas,

γ = 1 1 - β 2 = 1 1 - 1 - ϵ 2 ≅ 1 1 - 1 - 2 ϵ = 1 2 ϵ ⇒ ϵ = 1 2 γ 2

Portanto,

f = 4 5 5 1 2 2 γ 2 4 = 1 4 8 5 5 γ 8 = 2,62 γ 8

Resposta

Ver Passo 1, 2 e 3.