Encontre o campo elétrico a uma altura z do centro de uma folha quadrada (lado a) que tem uma carga superficial de densidade uniforme σ . Verifique seu resultado para os casos limites a → ∞   e   z ≫ a .  

Passo 1

Faaala, galera! Bora pra mais uma. Primeiramente, vamos ter que o campo elétrico a uma altura Z de um segmento de reta (de comprimento 2L) será dado por:

    E = 1 4 π ϵ 0 2 λ L Z Z 2 + L 2  

No nosso caso, como queremos para um dos lados da folha (de lado a ), teremos que a distância de -L até L será igual a a , portanto:

L = a 2

A distância de z para a reta será dada por:

Z = z 2 + L 2 = z 2 +   a 2   2 = z 2 + a 2 4

Portanto substituindo os valores na primeira expressão, teremos:

    E = 1 4 π ϵ 0 2 λ a 2 z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4  

    E = 1 4 π ϵ 0 λ a z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4  

Para termos apenas a componente vertical, multiplicaremos a expressão acima pelo cosseno de θ , e teremos:

cos ⁡ θ = z z 2 + a 2 4

Logo:

    E = 1 4 π ϵ 0 λ a z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4 cos ⁡ ( θ )   Z ^

    E = 1 4 π ϵ 0 λ a z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4 z z 2 + a 2 4     Z ^

E = 1 4 π ϵ 0 λ a z z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4   Z ^

Como queremos o campo para um ponto no centro de uma folha quadrada (que funciona como uma espira quadrada) de lado a , teremos que multiplicar a expressão acima por 4, pois teremos quatro segmentos de reta nesse caso (4 lados da espira ou folha), logo, teremos:

E = 1 4 π ϵ 0 4 λ a z z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4   Z ^

Passo 2

Podemos ver pelo esquema abaixo, que a densidade linear de carga λ será dada por:

λ = σ d a 2

Passo 3

Agora substituindo a expressão pra lambda na expressão do campo elétrico teremos:

E = 1 4 π ϵ 0 4 σ d a 2 a z z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4   Z ^

Rearrumando teremos:

E = 1 4 π ϵ 0 2 σ ( d a ) a z z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4   Z ^

Agora integraremos a expressão de 0 até a

E = 1 4 π ϵ 0 2 σ ∫ 0 a a d a z 2 + a 2 4   z 2 + a 2 4 + a 2 4

Para resolver essa integral, usaremos a técnica da substituição de variável. Considerando:

u = a 2 4

Com isso:

d a = 2   d u

Substituindo na integral, teremos:

E = 1 4 π ϵ 0 4 σ z ∫ 0 a 2 4 d u u + z 2   2 u + z

Integrando, teremos:

E =   σ z π ϵ 0 2 z tan - 1 ⁡ 2 u + z 2 z   a 2 4 0

E =   2 σ π ϵ 0 tan - 1 ⁡ a 2 2 + z 2 z -   t a n - 1 ( 1 )     a 2 4 0

E =   2 σ π ϵ 0 t a n - 1 1 + a 2 2 z 2 - π 4   Z ^

Passo 4

Com a expressão obtida, agora, faremos os testes para os seguintes casos:

a → ∞  

z ≫ a

Primeiro, para o caso a → ∞   , teremos:

E =   2 σ π ϵ 0 t a n - 1 ( ∞ ) - π 4   =   2 σ π ϵ 0 π 2 - π 4   =   σ 2 ϵ 0    

Para o caso z ≫ a , teremos:

Considerando f x =   t a n - 1 1 + x   - π 4 e expandido em uma série de Taylor:

f x = f 0 + x f ' 0 + 1 2 x 2 f ' ' 0 + …

Para x = 0 , f ( x ) , terá o seguinte valor:

f 0 = tan - 1 ⁡ - π 4 = π 4 - π 4 = 0

E para f ' x :

f ' x = 1 1 + ( 1 + x ) 1 2 1 1 + x = 1 2 2 + x 1 + x

Logo, f ' 0 = 1 4 . Aplicando os valores na série de Taylor e levando em conta que:

a 2 2 z 2 = x ≪ 1

Teremos que:

E ≈ 2 σ π ϵ 0 1 4 a 2 2 z 2 = 1 4 π ϵ 0 σ a 2 z 2 =   1 4 π ϵ 0 q z 2

Resposta

E =   2 σ π ϵ 0 t a n - 1 1 + a 2 2 z 2 - π 4   Z ^

Para a → ∞ :

E =   σ 2 ϵ 0    

Para z ≫ a   :

E = 1 4 π ϵ 0 q z 2