Enunciado

Encontre o campo elétrico a uma distância z acima do centro de uma espira circular de raio r (Figura 2.9), que tem uma densidade linear de carga uniforme λ .

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para acharmos o campo elétrico deste exercício, vamos usar a fórmula para densidade linear de carga uniforme abaixo:

E = 1 4 π ϵ 0 ∫ λ d l a 2

Vamos interpretar como o campo está agindo no ponto P e depois é só aplicarmos os valores e integrarmos. Boraa!!!

Passo 2

Os parâmetros do exercício podem ser analisados na figura abaixo:

Como o ponto está no centro da espira, a componente horizontal irá se cancelar. E a componente vertical é representada por:

E → z = E → cos ⁡ θ

Com o cosseno de θ , neste caso, sendo representado abaixo:

cos ⁡ θ = z a

Onde a 2 = r 2 + z 2 .

Substituindo na fórmula do passo 1.

E = 1 4 π ϵ 0 ∫ λ d l r 2 + z 2

Quem irá variar será o ϕ ao redor do círculo, variando de 0 a 2 π . Então, d l = r d ϕ .

E = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 π λ r r 2 + z 2 d ϕ

E = λ r 2 ϵ 0 ( r 2 + z 2 )

Como já definimos acima, o campo elétrico será na componente horizontal.

E z = λ r 2 ϵ 0 r 2 + z 2 cos ⁡ θ

E z = λ r 2 ϵ 0 r 2 + z 2 z r 2 + z 2

E = λ r z 2 ϵ 0 r 2 + z 2 3 / 2 z ^

Resposta

E = λ r z 2 ϵ 0 r 2 + z 2 3 / 2 z ^