Encontre o campo elétrico (magnitude, direção e sentido) a uma distância z acima do ponto central entre duas cargas iguais, q , que estão separadas por uma distância d (Figura 2.4). Verifique se o resultando é coerente com o com se espera quando z ≫ d .

(b) Repita a parte (a), só que desta vez faça a carga do lado direito igual a - q em vez de + q .

Passo 1

Falaaa, tudo bemm?? Neste exercício vamos usar a fórmula geral do campo elétrico entre duas cargas:

E r = 1 4 π ϵ 0 ∑ i = 1 n q i r i 2 r i ^

Porém, para resolvermos a questão, vamos fazer algumas interpretações da figura abaixo.

Passo 2

Para a primeira parte da questão, as duas cargas são positivas e queremos saber qual é o campo elétrico que as duas exercem no ponto P .

Como as duas cargas são positivas e estão de forma simétrica no exemplo, a componente horizontal do campo elétrico irá se cancelar no ponto que estamos analisando. Portanto, como a análise é bidimensional, o campo elétrico será apenas na direção vertical.

Na direção vertical temos que o campo elétrico no ponto P é dado por:

E z = 1 4 π ϵ 0 2 q r 2 cos ⁡ θ

Os parâmetros podem ser analisados na figura abaixo:

Como as cargas e o ponto formam um triângulo retângulo. A distância que cada uma das cargas está do ponto é definida pela soma dos quadrados dos catetos:

r 2 = d 2 2 + z 2

E o c o s ⁡ θ pode ser escrito como cateto adjacente sobre hipotenusa.

cos ⁡ θ = z r

cos ⁡ θ = z d 2 2 + z 2 1 / 2

Substituindo os valores na fórmula do campo elétrico.

E = 1 4 π ϵ 0 . 2 q d 2 2 + z 2 2 . z d 2 2 + z 2 1 / 2 z ^

E = 1 4 π ϵ 0 . 2 q z d 2 2 + z 2 3 / 2 z ^

Neste caso, se o z for muito maior que d . Então, poderemos desprezar d da fórmula, e o campo elétrico se reduzirá a:

E = 1 4 π ϵ 0 . 2 q z z 3 z ^

E = 1 4 π ϵ 0 . 2 q z 2 z ^

Passo 3

Nesta segunda parte da questão, o vetor que será cancelado será o vertical. E a componente horizontal é dada como:

E = 1 4 π ϵ 0 2 q r 2 s e n   θ   x ^

Considerando as substituições do passo 2, mas agora o seno é cateto oposto sobre hipotenusa:

s e n   θ = d / 2 r

Então, o campo elétrico é:

E = 1 4 π ϵ 0 . q d d 2 2 + z 2 3 / 2   x ^

Nesta parte, se o z for muito maior que d . Poderemos desprezar d , e a fórmula poderá ser considerada como:

E = 1 4 π ϵ 0 . q d z 3   x ^

Resposta

  1. E = 1 4 π ϵ 0 . 2 q d 2 2 + z 2 3 / 2 z ^
  2. E = 1 4 π ϵ 0 . q d d 2 2 + z 2 3 / 2   x ^