Encontre e desenhe a trajetória da partícula do Exemplo 5.2, se ela parte da origem, com velocidade.

A - v 0 = E B y ^

B – v 0 = E 2 B y ^

C - v 0 = E B y ^ + z ^

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos entender que a solução geral do movimento de uma partícula é dado por

y t = C 1 cos ⁡ ω t + C 2 sen ⁡ ω t + E B t + C 3

z t = C 2 cos ⁡ ω t - C 1 sen ⁡ ω t + C 4

A – Colocando as condições iniciais, nós temos que

z 0 = 0 → C 2 = - C 4

z ' 0 = 0 → C 1 = 0

y 0 = 0 → C 3 = 0

y ' 0 = E B = 0 → C 2 = 0

A trajetória resultante é uma linha reta, devido ao equilíbrio da força magnética e elétrica

y t = E B t ,     z t = 0

Passo 2

B – Colocando novamente as condições iniciais

z 0 = 0 → C 2 = - C 4

z ' 0 = 0 → C 1 = 0  

y 0 = 0 → C 3 = 0

y ' 0 = E 2 B → C 2 = - E 2 B = - C 4

A posição como uma função do tempo é dada por

y t = E 2 B ω 2 ω t - sen ⁡ ω t ;     z t = E 2 B ω ( 1 - cos ⁡ ω t )

Usando a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , nós temos a seguinte trajetória

2 ω t - y γ 2 + 1 - z γ 2 = 1 ;     s e n d o   γ = E 2 B ω

A trajetória é um círculo movendo sobre o eixo y com v = 2 ω γ , com o centro em ( 2 ω y t ,   γ ) e o raio γ .

Passo 3

Novamente, colocando nas condições iniciais, nós temos que

z 0 = 0 → C 2 = - C 4

z ' 0 = E B → C 1 = E B ω

y ' 0 = E B → C 2 = 0 = C 4

y 0 = 0 → C 1 = - C 3 → C 3 = E B ω

A posição nesse caso, é dada por uma função de tempo

y t = E B ω 1 + ω t - cos ⁡ ω t ;     z t = E B ω sen ⁡ ω t

Usando a identidade cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1 , nós obtemos o seguinte resultado:

1 + ω t - y γ 2 + z 2 γ 2 = 1

Sendo γ igual a

γ = E B ω

que é um círculo com raio γ , cujo centro está em γ ( 1 + ω t ) e se movendo para a direita com v = ω γ .

Resposta

a )   y t = E B t ;     z t = 0

b )   y t = E 2 B ω 2 ω t - sen ⁡ ω t ;       z t = E 2 B ω ( 1 - cos ⁡ ω t )

c )   y t = E B ω 1 + ω t - cos ⁡ ω t ;     z t = E B ω sen ⁡ ω t