Encontre a largura da região de dispersão anômala para o caso de uma única ressonância ω 0 . Assuma que γ ≪ ω 0 . Mostre que o índice de refração assume seus valores máximo e mínimo em pontos onde o coeficiente de absorção está a meia altura do pico.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Observe a figura 9.22. A largura da região anômala é Δ ω = ω 2 - ω 1 , onde ω 1 e ω 2 na curva n ( ω ) tem pontos estacionários (máximo e mínimo). Para o caso de uma única ressonância

n = 1 + N q 2 f 2 m ϵ 0 ω 0 2 - ω 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Derivando n em torno de ω , nós temos que

d n d ω = - 2 ω ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 - ω 0 2 - ω 2 2 ω 0 2 - ω 2 - 2 ω + 2 γ 2 ω ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 2 = 0

Que nos fornece que

2 ω ω 0 2 - ω 2 2 - 2 γ 2 ω ω 0 2 = 0

Simplificando um pouco mais as coisas

ω 0 2 - ω 2 2 = γ 2 ω 0 2

Logo,

ω 2 = ω 0 2 ± γ ω 0

E com isso, ω é igual a

ω = ω 0 1 + ± γ ω 0

Onde na última etapa fizemos a aproximação γ ≪ ω 0 . A largura da região anômala é portanto:

Δ ω = ω 2 - ω 1 = ω 0 1 + γ 2 ω 0 - 1 + γ 2 ω 0 = ω 0 2 γ 2 ω 0 = γ

Passo 2

Vamos calcular o índice máximo refração,

α ω 1,2 = α M Á X γ 2 ω 1,2 2 ω 0 2 - ω 1,2 2 2 + γ 2 ω 1,2 2

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

α ω 1,2 = α M Á X γ 2 ω 0 2 1 ± γ 2 ω 0 2 ω 0 2 - ω 0 2 1 ± γ 2 ω 0 2 2 + γ 2 ω 0 2 1 ± γ 2 ω 0 2

Que nos fornece o seguinte valor aproximado:

α ω 1,2 ≈ α M Á X γ 2 1 ± γ ω 0 ω 0 2 1 - 1 ± γ ω 0 2 γ 2 1 ± γ ω 0

Simplificando

α ω 1,2 = α M Á X γ 2 1 ± γ ω 0 γ 2 + γ 2 1 ± γ ω 0 = α M Á X 1 ± γ ω 0 2 1 ± γ 2 ω 0

Que nos vai fornecer

α ω 1,2 ≈ α M Á X 2 1 ± γ 2 ω 0 ≈ α M Á X 2

Concluindo a prova!

Resposta

Δ ω = ω 2 - ω 1 ≈ γ

α ω 1,2 ≈ α M Á X 2