Encontre o momento de dipolo magnético da casca esférica giratória do Exemplo 5.11. Mostre que para os pontos r > R o potencial é o de um dipolo perfeito.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Considere um pequeno anel na esfera, onde a parte coberta por este anel é d θ e raio R , a largura do anel é R d θ . A carga no anel é igual à densidade de carga multiplicada pela área externa do anel, a área do anel é igual à circunferência do círculo com raio de 2 π R sen ⁡ θ multiplicado pela largura do anel, ou seja,

d q = σ 2 π R sen ⁡ θ R d θ   ( 1 )

A esfera está girando com velocidade angular de ω , então podemos escrever o tempo em uma revolução como,

d t = 2 π ω   ( 2 )

A corrente é igual à variação da carga durante a variação do tempo, ou seja,

I = d q d t

Substituindo (1) em (2), nós temos que,

I = σ ω R 2 sen ⁡ θ d θ

A área do anel é π R sen ⁡ θ 2 como mostrado acima (do eixo z). O momento de dipolo magnético do anel é igual à corrente multiplicada pela área do anel, ou seja,

d m = I A

Substituindo os termos,

d m = σ ω R 2 sen ⁡ θ d θ π R 2 sen 2 ⁡ θ

O momento de dipolo total é basicamente a integração de d m sobre o ângulo θ de θ = 0 para θ = π , isto é,

m = σ ω π R 4 ∫ 0 π sen 3 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora, vamos resolver essa integral bonitinha aí, fazendo a substituição pela seguinte propriedade:

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Nós temos que

m = σ ω π R 4 ∫ 0 π sen ⁡ θ 1 - cos 2 ⁡ θ   d θ

Agora, vamos fazer a seguinte manipulação algébrica

x = cos ⁡ θ → d x = - sen ⁡ θ d θ

Os limites da integral são de x = cos ⁡ 0 = 1 para cos ⁡ π = - 1 , então, nós temos que

m = σ ω π R 4 ∫ 1 - 1 - 1 - x 2   d x

Mudando os limites de integração e multiplicando por -1, nós obtemos o seguinte resultado

m = σ ω π R 4 ∫ - 1 1 1 - x 2   d x = 4 3 σ ω π R 4

Com isso, nós temos que

m = 4 3 σ ω π R 4 z ^

Do Exemplo 5.11, o potencial da esfera para r < R é igual a

A = μ 0 R 4 ω σ 3 sen ⁡ θ r 2 ϕ ^

A aproximação dipolar para o potencial é dada pela equação 5.83

A d i p = μ 0 4 π m × r ^ r 2

Substituindo m por 4 3 σ ω π R 4 z ^ (notando que o ângulo entre z ^ e r ^ é igual a θ , então z ^ × r ^ = sen ⁡ θ ϕ ^ , então, nós temos que

A d i p = μ 0 R 4 ω σ 3 sen ⁡ θ r 2 ϕ ^

Portanto, fora da esfera, o potencial do dipolo é o potencial exato.

Resposta

m = 4 3 σ ω π R 4 z ^