Encontre o momento de dipolo magnético da casca esférica giratória do Exemplo 5.11. Mostre que para os pontos o potencial é o de um dipolo perfeito.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Considere um pequeno anel na esfera, onde a parte coberta por este anel é e raio , a largura do anel é . A carga no anel é igual à densidade de carga multiplicada pela área externa do anel, a área do anel é igual à circunferência do círculo com raio de multiplicado pela largura do anel, ou seja,
A esfera está girando com velocidade angular de , então podemos escrever o tempo em uma revolução como,
A corrente é igual à variação da carga durante a variação do tempo, ou seja,
Substituindo (1) em (2), nós temos que,
A área do anel é como mostrado acima (do eixo z). O momento de dipolo magnético do anel é igual à corrente multiplicada pela área do anel, ou seja,
Substituindo os termos,
O momento de dipolo total é basicamente a integração de sobre o ângulo de para , isto é,
Passo 2
Agora, vamos resolver essa integral bonitinha aí, fazendo a substituição pela seguinte propriedade:
Nós temos que
Agora, vamos fazer a seguinte manipulação algébrica
Os limites da integral são de para , então, nós temos que
Mudando os limites de integração e multiplicando por -1, nós obtemos o seguinte resultado
Com isso, nós temos que
Do Exemplo 5.11, o potencial da esfera para é igual a
A aproximação dipolar para o potencial é dada pela equação 5.83
Substituindo por (notando que o ângulo entre e é igual a , então , então, nós temos que
Portanto, fora da esfera, o potencial do dipolo é o potencial exato.