Se š‘„ š‘” Ć© a entrada e š‘¦ š‘” Ć© a saĆ­da, calcule a resposta ao degrau š‘Ÿ š‘” e a resposta ao impulso h š‘” para o seguinte:

  1. š‘¦ ′ ′ ā€ˆ + 6 š‘¦ ′ + 5 š‘¦ = 20 š‘„

Passo 1

Uhuuuuu! Vamos de questƵezinhas pra comeƧar a madruga!

Vamos fazer o que fizemos antes: Vamos separar as fraƧƵes parciais quando houverem e trazer a transformada de Laplace para o domƭnio do tempo.

ā€ˆ š‘… š‘  Ć© a resposta ao degrau. ā€ˆ š‘… š‘  = š» š‘  š‘ 

A função de transferência da equação dada vai ser obtida assim:

š‘  2 š‘Œ š‘  + 4 š‘  š‘Œ š‘  + 13 š‘Œ š‘  = 13 š‘‹ š‘  ā€ˆ ⇒ ā€ˆ š» š‘  = š‘Œ š‘  š‘‹ š‘  = 13 š‘  2 + 4 š‘  + 13

Passo 2

š‘… š‘  = š» š‘  š‘  = 13 š‘  š‘  2 + 4 š‘  + 13 = š“ š‘  + šµ š‘  + š¶ š‘  2 + 4 š‘  + 13

Usando as tƩcnicas usadas durante todas as questƵes anteriores, vamos encontrar o seguinte resultado:

š‘… š‘  = 1 š‘  āˆ’ š‘  + 4 š‘  2 + 4 š‘  + 13 = 1 š‘  āˆ’ š‘  + 4 š‘  + 2 2 + 3 2

= 1 š‘  āˆ’ š‘  + 2 + 2 š‘  + 2 2 + 3 2 = 1 š‘  āˆ’ š‘  + 2 š‘  + 2 2 + 3 2 āˆ’ 2 9 ā‹… 3 2 š‘  + 2 2 + 3 2

⇒ ā€ˆ š‘Ÿ š‘” ā€ˆ = ā€ˆ 1 āˆ’ š‘’ āˆ’ 2 š‘” cos ⁔ ā€ˆ 3 š‘” āˆ’ 2 9 š‘’ āˆ’ 2 š‘” sin ⁔ 3 š‘” š‘¢ š‘”

Passo 3

Agora, vamos encontrar h š‘” . Vimos no Passo 1 a expressĆ£o para š» š‘  . Vamos usĆ”-la agora:

š» š‘  = 13 š‘  2 + 4 š‘  + 13 = 13 š‘  + 2 2 + 3 2 = 13 9 ā‹… 9 š‘  + 2 2 + 3 2

⇒ ā€ˆ h š‘” ā€ˆ = ā€ˆ 13 9 š‘’ āˆ’ 2 š‘” sin ⁔ 3 š‘” š‘¢ š‘”

Pronto, agora vou pegar uma Ôgua e ir para a próxima questão.

Resposta

⇒ ā€ˆ š‘Ÿ š‘” ā€ˆ = ā€ˆ 1 āˆ’ š‘’ āˆ’ 2 š‘” cos ⁔ ā€ˆ 3 š‘” āˆ’ 2 9 š‘’ āˆ’ 2 š‘” sin ⁔ 3 š‘” š‘¢ š‘”

⇒ ā€ˆ h š‘” ā€ˆ = ā€ˆ 13 9 š‘’ āˆ’ 2 š‘” sin ⁔ 3 š‘” š‘¢ š‘”