Se š‘„ š‘” Ć© a entrada e š‘¦ š‘” Ć© a saĆ­da, calcule a resposta ao degrau š‘Ÿ š‘” e a resposta ao impulso h š‘” para o seguinte:

  1. š‘¦ ′ ′ ā€ˆ + 6 š‘¦ ′ + 5 š‘¦ = 20 š‘„

Passo 1

Uhuuuuu! Vamos de questƵezinhas pra comeƧar a madruga!

Vamos levar a equação para o domínio da frequência considerando que as condições iniciais são zero:

š‘  2 š‘Œ š‘  + 6 š‘  š‘Œ š‘  + 5 š‘Œ š‘  = 20 š‘‹ š‘ 

⇒ ā€ˆ š» š‘  = š‘Œ š‘  š‘‹ š‘  = 20 š‘  2 + 6 š‘  + 5 = 20 š‘  + 1 š‘  + 5

e

š‘… š‘  = š» š‘  š‘  20 š‘  š‘  2 + 6 š‘  + 5 = 20 š‘  š‘  + 1 š‘  + 5

Passo 2

Podemos escrever š» š‘  como sendo

š» š‘  = 20 š‘  + 1 š‘  + 5 = š“ š‘  + 1 + šµ š‘  + 5

Usando um programa computacional como o Octave, podemos encontrar facilmente os Coeficientes. Assim:

š“ ā€ˆ = ā€ˆ 5 ā€ˆ š‘’ ā€ˆ šµ = āˆ’ 5 ā€ˆ  

⇒ š» š‘  = 5 š‘  + 1 āˆ’ 5 š‘  + 5

⇒ h š‘” = 5 š‘’ āˆ’ š‘” āˆ’ š‘’ āˆ’ 3 š‘” š‘¢ š‘”

Passo 3

Agora vamos escrever š‘… š‘  da seguinte maneira:

š‘… š‘  = 20 š‘  š‘  + 1 š‘  + 5 = š“ š‘  + šµ š‘  + 1 + š¶ š‘  + 5

Obtendo os coeficientes atravƩs do Octave, vamos obter:

š‘… š‘  = 20 š‘  š‘  + 1 š‘  + 5 = 4 š‘  āˆ’ 5 š‘  + 1 + 1 š‘  + 5 ā€ˆ ⇒ ā€ˆ š‘Ÿ š‘” ā€ˆ = ā€ˆ 4 āˆ’ 5 š‘’ āˆ’ š‘” + š‘’ āˆ’ 3 š‘” š‘¢ š‘”

Feshow! Agora vamos para a letra b) e terminar de vez esta questão!

Resposta

h š‘” = 5 š‘’ āˆ’ š‘” āˆ’ š‘’ āˆ’ 3 š‘” š‘¢ š‘”

ā€ˆ š‘Ÿ š‘” ā€ˆ = ā€ˆ 4 āˆ’ 5 š‘’ āˆ’ š‘” + š‘’ āˆ’ 3 š‘” š‘¢ š‘”