Esboce a função vetorial

v = r ^ r 2

e calcule seu divergente. A resposta poderá surpreendê-lo... Você pode explica-la?

Passo 1

Fala galera! Vamos lá.

r ⃑ = x i ^ + y j ^ + z k ^

r = r ⃑ = x 2 + y 2 + z 2

r ^ = r ⃑ r ⃑ = x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2

Então:

r ^ r 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 2 x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2

r ^ r 2 = x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2 3

r ^ r 2 = x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2 3 2

Ou também

r ^ r 2 = x i ^ x 2 + y 2 + z 2 3 2 + y j ^ x 2 + y 2 + z 2 3 2 + z k ^ x 2 + y 2 + z 2 3 2

r ^ r 2 = x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 i ^ + y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 j ^ + z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 k ^

Passo 2

Sabemos que o divergente é dado por:

∇ ∙ f x ,   y ,   z = ∂ f x ∂ x + ∂ f y ∂ y + ∂ f z ∂ z

Onde:

f x ,   y ,   z = f x x ^ + f y y ^ + f z z ^

Então, o divergente será:

∇ ∙ v = ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ∂ x + ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ∂ y + ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 ∂ z

∇ ∙ v = x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 + 2 x 2 - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 + 2 y 2 - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 + x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 + 2 z 2 - 3 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 2

∇ ∙ v = 3 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 - 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 - 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 - 5 2

∇ ∙ v = 3 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 - 3 x 2 + y 2 + z 2 2 2 ∙ x 2 + y 2 + z 2 - 5 2

∇ ∙ v = 3 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 - 3 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

∇ ∙ v = 3 - 3 x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

∇ ∙ v = 0

Resposta

Assim, chegamos à conclusão de que ∇ ∙ v = 0 em qualquer ponto, exceto na origem. Na origem, o divergente será infinito, conhecido também como função Delta de Dirac. Você pode ver um pouco mais sobre essa função na seção 1.5.