a) Escreva a função de transferência para o filtro protótipo Butterworth passa-baixas obtido no Problema 15.34(a).

b) Escreva a função de transferência para o filtro modificado do item (a) (veja o Problema 15.35).

c) Verifique a expressão do item (b) usando-a para calcular o ganho (em decibéis)

em 7.000 Hz. Compare seu resultado com o encontrado no Problema 15.34(b).

Passo 1

  1. Como a ordem do filtro n é igual a 3, a função de transferência do filtro H(s) é dada por
  2. H ( s )   1 ( s + 1 ) ( s ² + s + 1 )

  3. A frequência de corte não escalada w é dada por,
  4. w c   =   1   r a d / s

    A frequência de corte escalada w'c é dada por,

    w ' c   =   4000 π   r a d / s

    Então, o fator de escala de frequência Kf é dado por,

    K f   =   w ' c w c

    = 4000 π 1

    = 4000 π

    A função de transferência escalada H'(s) do filtro Butterworth de terceira ordem é dada por,

    H ' ( s )   =   1 ( s K f + 1 ) [ ( s K f ) ² + s K f + 1 ]

    Multiplique o numerador e o denominador por K ³ f

    H ' ( s )   =   K ³ f ( s + K f ) ( s ²   +   K f s + K ² f )

    substituindo por K f em H(s)

    H ' ( s )   =   ( 4000 π ) ³ ( s + 4000 π ) [ s ² + 4000 π s   + ( 4000 π ) ² ]

    Passo 2

  5. em f = 7000 Hz, a função transferência H ' ( j 14000 π )   é   d a d a   p o r ,

H ' ( j 14000 π )   =   ( 4000 π ) ³ ( j 14000 π + 4000 π ) [ ( j 14000 π ) ² + 4000 π ( j 14000 π ) + ( 4000 π ) ² ]

= 0.02332 ∠ - 236.77 ⁰

então, o ganho G em decibéis é dado por,

G   =   20   l o g 10 [ H ' ( j 14000 π ) ]

= - 32.65   d B

Resposta

  1. H ( s )   1 ( s + 1 ) ( s ² + s + 1 )
  2. H ' ( s )   =   ( 4000 π ) ³ ( s + 4000 π ) [ s ² + 4000 π s   + ( 4000 π ) ² ]
  3. G = - 32.65   d B