Uma esfera condutora com potencial V 0 está embutida pela metade em material dielétrico linear de suscetibilidade χ e , que ocupa a região z < 0 (Figura 4.35). Alegação: o potencial em toda parte é exatamente o mesmo que seria na ausência de dielétrico! Verifique esta alegação como se segue:

a) Escreva a fórmula para o potencial proposto V ( r ) , em termos de V 0 , R e r . Use-o para determinar o campo, a polarização, a carga de polarização e a distribuição de carga livre na esfera.

b) Mostre que a configuração de carga total de fato produziria o potencial V ( r ) .

c) Recorra ao teorema de unicidade do Problema 4.35 para completar o argumento

d) Você poderia resolver as configurações da Figura 4.36 com o mesmo potencial? Se não, explique o porquê.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - O potencial e o campo, bem como a polarização são:

V = V 0 R r

O campo será

E → = - ∂ V ∂ r r ^ = V 0 R r 2 r ^

E a polarização:

P → = ϵ 0 χ e V 0 R r 2 r ^

As cargas ligadas são todas as cargas de superfície, uma vez que este é um dielétrico linear, com isso:

σ b = P → ∙ n ^ ,   n ^ = - r ^

Logo, nós temos que

σ b = - P r = R = - ϵ 0 χ e V 0 R

Passo 2

A distribuição de carga livre pode ser encontrada encontrando o vetor deslocamento

D → = ϵ E →

Com isso, o ‘deslocamento’ médio pode ser dado da seguinte forma:

D m é d i o → = χ e + 1 ϵ 0 V 0 R r 2 r ^

E o do ar

D a r → = ϵ 0 V 0 R r 2 r ^

Com isso, a distribuição de carga livre é:

σ f = D ⊥ = D → ∙ n ^ ;   n ^ = r ^

A média é igual a

σ f , m é d i a = χ e + 1 ϵ 0 V 0 1 R

E o do ar

σ f , a r = ϵ 0 V 0 1 R

Passo 3

B - É fácil ver que em dielétrico a carga total na esfera é:

σ = σ b + σ f

Com isso, nós temos que

σ = χ e + 1 ϵ 0 V 0 1 R - ϵ 0 χ e V 0 R = ϵ 0 V 0 R

que é o mesmo que no ar. Assim, o campo elétrico é:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r ^ = 1 4 π ϵ 0 4 π R 2 σ f , a r r 2 r ^

Portanto, nós temos que

E → = V 0 R r 2 r ^

C - Que é o mesmo que o potencial sugerido, o mesmo que se não houvesse dielétrico em nenhum lugar.

Passo 4

D - O problema depende do centro da esfera estar no plano do dielétrico. Olha a foto. No primeiro, haverá cargas vinculadas no plano, pois P → ∙ n ^ ≠ 0 , e não poderemos resolvê-lo usando o mesmo método. No segundo será claramente possível.

Resposta

Respondido acima!