Uma esfera condutora de raio a , no potencial V o , está cercada por uma casca fina e concêntrica de raio b , sobre a qual alguém colocou uma carga superficial de densidade:

σ θ = k cos ⁡ θ

Onde k é uma constante e θ é a coordenada esférica.

(a) Encontre o potencial de cada região: i r > b e i i   a < r < b .

(b) Encontre a densidade superficial da carga induzida σ i   ( θ ) no condutor.

(c) Qual é a carga total desse sistema? Verifique se a resposta está coerente com o comportamento de V para r grande.

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Letra a)

Primeiramente vamos deixar os potenciais sendo:

V 1 = ∑ n = 0 ∞ B n r n + 1 P n ( cos ⁡ θ )   e   V 2 = ∑ n = 0 ∞ ( A ' n r n + B ' n r n + 1 )     P n ( cos ⁡ θ )

Onde temos que 2 denota a região a < r < b e 1 denota a região r > b . E as condições de contorno são:

V a , θ = V 0

V 2 b , θ = V 1 ( b , θ )

σ ϵ 0 = ∂ V 1 ∂ r   e - ∂ V 2 ∂ r

Da condição:

B n = B ' n + A ' n b 2 n + 1

A partir de V a , θ = V 0   , nós temos:

n = 0   → B ' 0 = V ' 0 a  

n > 0   → B ' n = - A ' 0 a 2 n + 1

Tudo certinho? Vamos pro próximo passo!

Passo 2

Agora a gente vai usar B n = B ' n + A ' n b 2 n + 1 , n = 0   → B ' 0 = V ' 0 a   e   n > 0   → B ' n = - A ' 0 a 2 n + 1   e assim nós teremos:

n > 1   → B n = A ' n ( b 2 n + 1 - a 2 n + 1 )  

n = 0   → B 0 = B ' 0 + A ' 0 b = A ' 0 b - a + V 0 a

Dessa forma, usando σ ϵ 0 = ∂ V 1 ∂ r   e - ∂ V 2 ∂ r :

k ϵ 0 c o s θ = ∑ n = 0 ∞ n + 1 B n b 2 + n P n cos ⁡ θ +   ∑ n = 0 ∞ ( n A ' n b n - 1 - ( n + 1 ) B ' n b 2 + n )   P n ( cos ⁡ θ )

Para n = 0 nós temos:

0 = B 0 B ' 0 - B ' 0 b 2 → B 0 = B ' 0

n = 0   → B 0 = B ' 0 + A ' 0 b = A ' 0 b - a + V 0 a → A ' 0 = 0

n = 0   → B 0 = B ' 0 + A ' 0 b = A ' 0 b - a + V 0 a → B 0 = B ' 0 = V 0 a

Para n = 1 temos que usando as equações   n > 0   → B ' n = - A ' 0 a 2 n + 1   e n > 1   → B n = A ' n ( b 2 n + 1 - a 2 n + 1 )   ficamos com:

k ϵ 0 = 2 B 1 b 3 + A ' 1 - 2 B ' 1 b 3 →   A ' 1 = k 3 ϵ 0

Portanto, todas as constantes são zero para n > 1 . Os potenciais serão então, processados pelas as constantes diferentes de zero restantes:

V 1 = B 0 r + B 1 r 2 cos ⁡ θ = V 0 a r + k 3 ϵ 0 b 3 - a 3 r 2 cos ⁡ θ

V 1 = A ' 0 B ' 0 r + A ' 1 r cos ⁡ θ + B ' 1 r 2 cos ⁡ θ = V 0 a r + k r 3 ϵ 0 1 - a 3 r 3 cos ⁡ θ

E com isso a gente conclui nosso item (a), vamos seguir!

Passo 3

Letra b)

A densidade da carga induzida é:

σ = - ϵ 0 ∂ V 2 ∂ r

= ϵ 0 ∂ V 0 a - k 3 1 + 2 cos ⁡ θ

= ϵ 0 V 0 a - k cos ⁡ θ

Passo 4

Letra c)

A carga total é dada por:

Q a = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ϵ 0 V 0 a - k cos ⁡ θ a 2 sin ⁡ θ d θ d Φ

= 4 π a V 0 ϵ 0

A carga total na esfera externa é zero (integrando o cosseno ao longo de seu período), e para r grande o potencial é:

V r , θ = V 0 a r - 1 4 π ϵ 0 4 π ϵ 0 V 0 a r

Que é o potencial de uma carga pontual.

E por fim acabamos nossa questãozinha, te vejo na próxima!

Resposta

Letra a)

  V i n t = V 0 a r + k r 3 ϵ 0 1 - a 3 r 3 cos ⁡ θ   e     V e x t = V 0 a r + k 3 ϵ 0 b 3 - a 3 r 2 cos ⁡ θ

Letra b)

σ a , θ = ϵ 0 V 0 a - k cos ⁡ θ

Letra c)

Q t o t a l = Q a = 4 π a V 0 ϵ 0