Uma esfera condutora de raio , no potencial , está cercada por uma casca fina e concêntrica de raio , sobre a qual alguém colocou uma carga superficial de densidade:
Onde é uma constante e é a coordenada esférica.
(a) Encontre o potencial de cada região: e .
(b) Encontre a densidade superficial da carga induzida no condutor.
(c) Qual é a carga total desse sistema? Verifique se a resposta está coerente com o comportamento de para grande.
Passo 1
Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!
Letra a)
Primeiramente vamos deixar os potenciais sendo:
Onde temos que 2 denota a região e 1 denota a região . E as condições de contorno são:
Da condição:
A partir de , nós temos:
Tudo certinho? Vamos pro próximo passo!
Passo 2
Agora a gente vai usar , e e assim nós teremos:
Dessa forma, usando :
Para nós temos:
Para temos que usando as equações e ficamos com:
Portanto, todas as constantes são zero para . Os potenciais serão então, processados pelas as constantes diferentes de zero restantes:
E com isso a gente conclui nosso item (a), vamos seguir!
Passo 3
Letra b)
A densidade da carga induzida é:
Passo 4
Letra c)
A carga total é dada por:
A carga total na esfera externa é zero (integrando o cosseno ao longo de seu período), e para grande o potencial é:
Que é o potencial de uma carga pontual.
E por fim acabamos nossa questãozinha, te vejo na próxima!
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)