Enunciado
Elétrica - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 58
Uma esfera maciça uniformemente carregada de raio R tem uma carga total, e é colocada em rotação com velocidade angular w em torno do eixo z.
- Qual é o momento de dipolo magnético da esfera?
- Encontre o campo magnético médio dentro da esfera (veja o Problema 5.57)
- Encontre o potencial vetorial aproximado em um ponto onde r >> R.
- Encontre o potencial exato em um ponto fora da esfera e verifique sua coerência com (C). [Dica: consulte o Exemplo 5.11. ]
- Encontre o campo magnético no ponto dentro da esfera e verifique sua coerência com (b).
Passo 1
Olá pessoal, bora para mais uma!?
Partindo da equação expressa abaixo para o momento de dipolo de uma casca, temos que:
Porém vamos fazer algumas trocas. Consideramos . Assim podemos integrar:
Ou seja:
Mas sabemos podemos substituir , com isso, temos que:
Assim:
Passo 2
Do problema 5.57, temos que:
Que facilita muito a resolução desta letra, agora basta substituir o resultado que encontramos no passo 1, assim temos que:
Passo 3
Agora queremos encontrar o potencial vetorial aproximado, sendo assim, temos:
Substituindo o resultado obtido na letra a, temos que:
Passo 4
Partindo da equação 5.67. com , agora integrando, temos que:
Assim temos que:
Que como esperado é idêntico ao da letra C.
Passo 5
Temos que o campo é:
Como o campo médio aponta na direção de z, assim vamos pegar a componente z de . Assim temos que:
Agora é só resolver a integral, nos limites de interações, assim continuando, temos que:
Podemos melhorar ainda mais essa integral, assim:
Agora para finalizar, temos que:
Por fim temos que:
Que como o esperado é o mesmo resultado obtido na letra B, com isso finalizamos mais uma questão, até a próxima!