Uma esfera de raio R tem uma densidade de carga ρ r = k r (onde k é uma constante). Encontre a energia da configuração. Verifique sua resposta calculando de pelo menos duas formas diferentes.

Passo 1

Faaala, galera! Bora matar essa questãozinha. O enunciado nos pediu para calcular a energia de uma esfera de raio R com uma densidade volumétrica de carga de ρ r = k r por dois métodos diferentes. Para isso, vamos encontrar a expressão para o campo elétrico dentro e fora dessa esfera através da Lei de Gauss que é dada, por:

ϵ 0 ∮ E   d a = Q e n c

Como a nossa superfície gaussiana do problema e uma esfera, a integral da superfície, será igual a área da superfície de uma esfera ( 4 π r 2 ). Substituindo na Lei de Gauss, teremos:

ϵ 0 ∮ E   d a = ϵ 0 4 π r 2 E = Q e n c

Podemos reescrever Q e n c em termos de densidade de carga ρ :

Q e n c = ∫ v ρ   d τ

Agora, podemos igualar essa expressão para Q e n c , com a expressão da Lei de Gauss para esfera encontrada anteriormente para chegarmos em:

ϵ 0 4 π r 2 E = Q e n c = ∫ v ρ   d τ

Com isso ficamos com a seguinte expressão para o campo elétrico:

E = 1 ϵ 0 4 π r 2   ∫ v ρ   d τ

E assim, teremos que resolver a seguinte integral (lembrando do valor dado para a densidade volumétrica k r ) :

∫ v ρ   d τ = ∫ k r - r - 2 s e n θ d r - d θ d ϕ

Rearrumando, teremos:

∫ k r - r - 2 s e n θ d r - d θ d ϕ = ∫ 0 r k r - 4 π r - 2 d r - =   4 π k ∫ 0 r r - 3 d r -  

Resolvendo essa integral, chegaremos ao seguinte resultado:

4 π k ∫ 0 r r - 3 d r -   = π k r 4   p a r a   r < R   e   π k R 4   ( p a r a   r > R )

E com isso a expressão para o nosso campo elétrico será   p a r a   r < R :

E = 1 ϵ 0 4 π r 2   ∫ v ρ   d τ = 1 ϵ 0 4 π r 2     π k r 4   = k 4 ϵ 0 r 2   r ^

E = k 4 ϵ 0 r 2   r ^

E ( p a r a   r > R ) :

E = 1 ϵ 0 4 π r 2   ∫ v ρ   d τ = 1 ϵ 0 4 π r 2   π k R 4   = k R 4 4 ϵ 0 r 2 r 2   r ^

Em que R é o raio da esfera!

Passo 2

Agora utilizaremos o primeiro método para encontrar a energia dessa configuração. Para esse primeiro método utilizaremos a seguinte expressão para a energia de uma distribuição de carga contínua (trabalho necessário para reunir as cargas):

W = ϵ 0 2 ∫ E 2 d τ

Agora basta substituirmos as expressões do campo elétrico nessa expressão. E assim teremos:

W =   ϵ 0 2 ∫ 0 R k r 2 4 ϵ 0 2 4 π r 2 d r + ϵ 0 2 ∫ R ∞ k R 4 4 ϵ 0 r 2 2 4 π r 2 d r

Resolvendo:

W = 4 π ϵ 0 2 k 4 ϵ 0 2 ∫ 0 R r 6 d r + R 8 ∫ R ∞ 1 r 2 d r

= π k 2 8 ϵ 0 R 7 7 + R 8 1 R = π k 2 R 7 7 ϵ 0

Passo 3

Para o segundo método, usaremos a seguinte expressão:

W = 1 2 ∫ ρ V   d τ

Em que V é o potencial, logo calculando potencial para r < R , teremos:

V r =   - ∫ ∞ r   E   d l =   - ∫ ∞ R k R 4 4 ϵ 0 r 2 d r - ∫ R r k r 2 4 ϵ 0 d r

Resolvendo:

V r = - k 4 ϵ 0 R 4 - 1 r ∞ R + r 3 3 R r  

= - k 4 ϵ 0 - R 3 + r 3 3 - R 3 3 = k 3 ϵ 0 R 3 - r 3 4

Substituindo o valor do potencial na equação anterior para a energia (trabalho necessário para reunir as cargas)

W = 1 2 ∫ 0 R k r k 3 ϵ 0 R 3 - r 3 4 4 π r 2 d r

Resolvendo, teremos:

W = 2 π k 2 3 ϵ 0 ∫ 0 R R 3 r 3 - r 6 4 d r

= 2 π k 2 3 ϵ 0 R 3 R 4 4 - 1 4   R 7 7 = π k 2 R 7 6 ϵ 0 6 7 = π k 2 R 7 7 ϵ 0

E como queríamos o resultado bateu com o resultado do método anterior, mesmo usando um método diferente

E aqui chegamos ao final da questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

M é t o d o   1

W = ϵ 0 2 ∫ E 2 d τ =   π k 2 R 7 7 ϵ 0

M é t o d o   2

W = 1 2 ∫ ρ V   d τ = π k 2 R 7 7 ϵ 0