Uma esfera de raio R tem uma densidade de carga (onde k é uma constante). Encontre a energia da configuração. Verifique sua resposta calculando de pelo menos duas formas diferentes.
Passo 1
Faaala, galera! Bora matar essa questãozinha. O enunciado nos pediu para calcular a energia de uma esfera de raio R com uma densidade volumétrica de carga de por dois métodos diferentes. Para isso, vamos encontrar a expressão para o campo elétrico dentro e fora dessa esfera através da Lei de Gauss que é dada, por:
Como a nossa superfície gaussiana do problema e uma esfera, a integral da superfície, será igual a área da superfície de uma esfera (). Substituindo na Lei de Gauss, teremos:
Podemos reescrever em termos de densidade de carga :
Agora, podemos igualar essa expressão para , com a expressão da Lei de Gauss para esfera encontrada anteriormente para chegarmos em:
Com isso ficamos com a seguinte expressão para o campo elétrico:
E assim, teremos que resolver a seguinte integral (lembrando do valor dado para a densidade volumétrica :
Rearrumando, teremos:
Resolvendo essa integral, chegaremos ao seguinte resultado:
E com isso a expressão para o nosso campo elétrico será :
E :
Em que R é o raio da esfera!
Passo 2
Agora utilizaremos o primeiro método para encontrar a energia dessa configuração. Para esse primeiro método utilizaremos a seguinte expressão para a energia de uma distribuição de carga contínua (trabalho necessário para reunir as cargas):
Agora basta substituirmos as expressões do campo elétrico nessa expressão. E assim teremos:
Resolvendo:
Passo 3
Para o segundo método, usaremos a seguinte expressão:
Em que V é o potencial, logo calculando potencial para , teremos:
Resolvendo:
Substituindo o valor do potencial na equação anterior para a energia (trabalho necessário para reunir as cargas)
Resolvendo, teremos:
E como queríamos o resultado bateu com o resultado do método anterior, mesmo usando um método diferente
E aqui chegamos ao final da questão, galera! Até a próxima 😊