O espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas (Figura 4.24) é preenchido com duas chapas de material dielétrico linear. Cada chapa tem espessura a , de forma que a distância total entre as placas é 2 a . A chapa 1 tem constante dielétrica 2, e a chapa 2 tem constante dielétrica 1,5. A densidade de carga livre na placa superior é σ e na placa inferior é - σ .

(a) Encontre o deslocamento dielétrico D em cada chapa.

(b) Encontre o campo elétrico E em cada chapa.

(c) Encontre a polarização P em cada chapa.

(d) Encontre a diferença de potencial entre as placas.

(e) Encontre a localização e a quantidade de toda a carga de polarização.

(f) Agora que você conhece toda a carga (livre e de polarização), recalcule o campo em cada chapa e confirme sua resposta para (b).

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite meu povoo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Resolvendo a questão do item (a), aplicaremos a seguinte integral: ∫ D . d a = Q f à superfície gaussiana mostrada, de modo a se obter:

D A = σ A     →     D = σ

Note que: D = 0 dentro da placa de metal e que isso é verdade nas duas placas, tendo D apontando para baixo.

A esquemática da situação pode ser mostrada abaixo:

Passo 2

Para encontrarmos o campo elétrico em cada uma das chapas, adotaremos a fórmula de D:

D = ϵ E

Portanto, para a placa 1, teremos:

E = σ ϵ 1

Enquanto que, para a placa 2, teremos:

E = σ ϵ 2

Porém, como ϵ = ϵ 0 ϵ r ; para ϵ 1 temos: ϵ 1 = 2 ϵ 0 . Para ϵ 2 temos: ϵ 2 = 3 2 ϵ 0 .

Desse modo, substituindo as expressões de ϵ para cada uma das placas, nas fórmulas de campo, teremos:

E 1 = σ 2 ϵ 0   e   E 2 = 2 σ 3 ϵ 0

Passo 3

A polarização em cada chapa, deverá adotar a seguinte expressão como base:

P = ϵ 0 x e E

Desenvolvendo a expressão acima, em termos de E de maneira geral, e não para cada placa específica, teremos:

P = ϵ 0 x e E ϵ 0 ϵ r = x e ϵ r σ

Como x e = ϵ r - 1 :

P = 1 - ϵ r - 1 σ .

Desse modo, para as placas 1 e 2, respectivamente, temos:

P 1 = σ 2   e   P 2 = σ 3

Passo 4

A ddp entre as placas pode ser calculada através da seguinte expressão:

V = E 1 a + E 2 a = σ a 6 ϵ 0 3 + 4 = 7 σ a 6 ϵ 0

Passo 5

A quantidade das cargas utilizadas, bem como sua localização, será:

ρ p = 0 ;   σ p = + P 1   n a   b a s e   d a   p l a c a   1 = σ 2 ,       σ p = + P 2   n a   b a s e   d a   p l a c a   2 = σ 3 σ p = - P 1   n o   t o p o   d a   p l a c a   1 = - σ 2 ;       σ p = + P 2   n o   t o p o   d a   p l a c a   2 = - σ 3

Passo 6

Recalcularemos o campo da seguinte maneira:

Na chapa 1: c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a c i m a : σ - ( σ / 2 ) = σ / 2   c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a b a i x o : ( σ / 2 ) - ( σ / 3 ) + ( σ / 3 ) = 2 σ / 3

Portanto o campo na chapa 1 será: E 1 = σ 2 ϵ 0 .   Vemos aqui que esse resultado confere com o que foi feito no item (b).

Na chapa 2: c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a c i m a : σ - σ 2 + σ 2 - σ 3 = 2 σ 3   c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a b a i x o : σ 3 - σ = - 2 σ 3

Portanto o campo na chapa 1 será: E 2 = 2 σ 3 ϵ 0 .   Vemos aqui que esse resultado confere com o que foi feito no item (b).

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) D = σ .

(b) E 1 = σ 2 ϵ 0   e   E 2 = 2 σ 3 ϵ 0 .

(c) P 1 = σ 2   e   P 2 = σ 3 .

(d) V = 7 σ a 6 ϵ 0 .

(e)

σ p = + P 1   n a   b a s e   d a   p l a c a   1 = σ 2 ,       σ p = + P 2   n a   b a s e   d a   p l a c a   2 = σ 3 σ p = - P 1   n o   t o p o   d a   p l a c a   1 = - σ 2 ;       σ p = + P 2   n o   t o p o   d a   p l a c a   2 = - σ 3

(f) Os valores conferem com o item (b).

Na chapa 1: c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a c i m a : σ - ( σ / 2 ) = σ / 2   c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a b a i x o : ( σ / 2 ) - ( σ / 3 ) + ( σ / 3 ) = 2 σ / 3

Na chapa 2: c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a c i m a : σ - σ 2 + σ 2 - σ 3 = 2 σ 3   c a r g a   d a   s u p e r f í c i e   t o t a l   a b a i x o : σ 3 - σ = - 2 σ 3