Uma espira quadrada é recortada de uma folha grossa de alumínio. Ela é em seguida posicionada de forma que a sua parte superior esteja em um campo magnético uniforme B, e deixada em queda sob a ação da gravidade (Figura 7.19). (No diagrama, o sombreado indica a região do campo; B aponta para dentro da página). Se o campo magnético é 1T (um campo padrão em laboratórios), encontre a velocidade terminal da espira (em m/s). Encontre a velocidade da espira como função do tempo. Quanto tempo ela demora (em segundos) para alcançar, digamos, 90 por cento da velocidade terminal? O que aconteceria se você cortasse uma pequena fenda no anel, interrompendo o circuito? [Observação: o resultado não depende das dimensões da espira; determine os números de fato, nas unidades indicadas]

Figura 7.19

Passo 1

E aí galerinha, neste problema vamos relembrar alguns conceitos da mecânica. O primeiro ponto neste problema é determinar a velocidade terminal da espira. Da mesma forma que fazíamos na mecânica, precisamos descrever as forças que atuam sobre a espira.

  • Força peso – representação da atuação gravitacional sobre a espira.
  • Força magnética- representação da atuação do campo magnético sobre a espira.

A força peso é expressa por:

P g =   m . g

Onde m é a massa da espira e g a aceleração da gravidade. Já a força magnética ascendente neste caso, é expressa por:

F m =   B .   l .   I

Podemos encontrar uma expressão para a corrente em função das variáveis conhecidas. Utilizando a lei de Ohm, temos:

I = E R =   B .   l .   v R

Inserindo a expressão acima na equação da força magnética, temos:

F m =   B .   l . B .   l .   v R

Que resulta em:

F m = B 2 .   l 2 .   v R

Passo 2

Para encontrar a velocidade terminal, temos que fazer uso da segunda lei de Newton:

∑ F =   m . a

A força “resistiva” neste caso, será a força magnética.

m .   g   -   B 2 .   l 2 .   v R =   m .   a

dividindo todos os termos pela massa, temos:

  g   -   B 2 .   l 2 .   v m   .   R =   a

como B, l, m e R são constantes, podemos adotar α = B 2 .   l 2 m   .   R   , assim temos:

g   -   α   . v =   a

quando chegamos a um regime onde o sistema atinge a velocidade terminal, esse movimento não é mais um movimento acelerado, logo a = 0 , que nos resta:

g   -   α   . v T =   0

assim,

v T = g α

Retornado as variáveis que conhecemos, teremos:

v T = m .   g .   R B 2 .   l 2

Passo 3

O segundo ponto desse problema, nos pede para encontrar a velocidade da espira em função do tempo. Para isso, podemos utilizar a equação construída no passo anterior para dar a partida:

g   -   α   . v =   a

sendo a = d v d t , podemos reescrever a equação como:

g   -   α   . v =   d v d t

podemos separar os integrantes em ambos os lados da equação:

  d v g   -   α   . v =   d t

Integrando ambos os lados, teremos:

- 1   α   .     l n ( g   -   α   . v ) =   t + C

O que temos que fazer agora, se resume a álgebra, pois temos que isolar o v . Com isso teremos:

v =   g α   1   -   e - α . t

sendo g α = v T , definido como velocidade terminal, podemos escrever a velocidade em função do tempo como:

v = v T   .   1   -   e - α . t

Passo 4

Agora temos que descobrir, quanto tempo demora para a espira atingir 90% da velocidade terminal. Se queremos o tempo, a equação que vamos utilizar é a da velocidade dependente do tempo (que escrevemos no passo anterior). Os 90% da velocidade terminal, corresponderá:

v v T = 0,9

Então,

0,9 =     1   -   e - α . t

Precisamos isolar o t da equação acima, que irá resultar em:

t =   v T g .   l n ( 10 )

Passo 5

O que aconteceria se você cortasse uma pequena fenda no anel, interrompendo o circuito?

Uma das grandezas que essa condição afetaria, seria a massa, que agora seria expressa por:

m =   4   .   η   .   l   . A

onde η é a densidade do alumínio e o restante da equação corresponde ao “novo volume” da espira. A resistência também seria afetada, pois está diretamente ligada as características espaciais do condutor (segunda lei de Ohm).

R =   4 .   l A .   σ

Sendo σ a condutividade do alumínio. Então, como esse corte na espira gera mudanças na massa e na resistência, termos que reestruturar as equações da velocidade v T e do tempo t para 90% de v T .

v T = m .   g .   R B 2 .   l 2         →       v T ' = 4   .   η   .   l   . A .   g .   4 .   l A .   σ B 2 .   l 2

Reorganizando esta equação, obtemos:

v T ' = 16   .   η     g   σ .   B 2 =     16   .   η     .   g   .     ρ   B 2

Que numericamente assume o valor:

v T ' = 16   .   ( 2,7   x   10 3 )   .   9,8   .   2 , 8   x   10 - 8   1 2 =   1,2   m / s

E t , assumirá a forma:

t =   1,2 9,8 .   l n ( 10 ) =   2,8   m s

Resposta

Para o caso da espira completa:

v T = m .   g .   R B 2 .   l 2           ;             v = v T   .   1   -   e - α . t           ;         t =   v T g .   l n ( 10 )

Para o caso do corte na espira:

v T ' = 1,2   m / s ; t =   2,8   m s