No Exemplo 3.9, deduzimos o potencial exato para uma casca esférica de raio R , com uma densidade superficial de carga σ = K c o s   θ . (a) Calcule o momento de dipolo dessa distribuição de carga. (b) Encontre o potencial aproximado, para pontos distantes da esfera, e compare com a resposta exata (3.87). O que você pode concluir sobre os multipolos mais altos?

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Essa vai ser bem rápida então vem comigo.

Letra a)

O momento dipolo apontará para a direção z, logo teremos:

P z ∫ V r cos ⁡ θ   ρ d V

=   ∫ 0 2 π ∫ 0 π R c o s   θ   k cos ⁡ θ   R 2 sin ⁡ θ   d θ d Φ

R 3 2 π K ∫ 0 π - 1 cos 2 ⁡ θ   d ( cos ⁡ θ )

= - 2 3 R 3 k c o s 3 θ π 0

= 4 3 π R 3 k

Assim, ficamos com:

p → = 4 3 π R 3 k   z ⏞

Tudo certinho, até aqui? Vamos seguir!

Passo 2

Letra b)

Nosso próximo passo é encontrar o potencial aproximado, para pontos distantes da esfera. O potencial aproximado é dado por:

V r , θ ≈ 1 4 π ϵ 0 p → ∙ r ⏞ r 2  

= k c o s   θ 3 ϵ 0 R 3 r 2

Note que comparando com a Eq. 3.87 vemos que eles são idênticos, significando que os multipolos de ordem superior são zero.

Tranquilo né? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra a)

p → = 4 3 π R 3 k   z ⏞

Letra b)

V r , θ = k c o s   θ 3 ϵ 0 R 3 r 2