Figure 8.7 shows a plot of i / I 0 as a function of t.

a) Determine the values of t / τ at which i / I 0 is 0.1, 0.01, and 0.001.

b) If a tangent to curve is drawn at the point where t τ = 1 , where will it intersect t axis?

Passo 1

a) Fala, galeeera! Bora pra mais uma. Para essa aqui, o enunciado nos pede os valores t τ que i / I 0 vale 0.1, 0.01 e 0.001. Para essa questão vamos lembrar que o gráfico está plotando a função:

e - R L t   e m   r e l a ç ã o   a   t

A função que descreve o comportamento da corrente no indutor é dada por:

i = I 0 e - R L t         e m   q u e L R = τ

Portanto:

i I 0 = e - t τ

Agora basta substituirmos os valores de i I 0 na equação para encontrar os valores de - t τ :

Para o caso   i I 0 = 0.1 :

e - t τ = 0.1

Aplicando ln em ambos os lados:

- t τ ln ⁡ e = l n ⁡ ( 0.1 )

t τ =   - l n 0.1 = 2.30 3

Para o caso   i I 0 = 0 . 0 1 :

e - t τ = 0 . 0 1

Aplicando ln em ambos os lados:

- t τ ln ⁡ e = l n ⁡ ( 0 . 0 1 )

t τ =   - l n 0 . 0 1 = 4.605

Para o caso   i I 0 = 0.0 0 1 :

e - t τ = 0.0 0 1

Aplicando ln em ambos os lados:

- t τ ln ⁡ e = l n ⁡ ( 0.0 0 1 )

t τ =   - l n 0.0 0 1 = 6.908

Passo 2

b) Aqui como devemos encontrar o valor em que a curva intersecta o gráfico, levando em conta que a tangente da curva é desenhada no pronto em que t τ = 1 . Quando pensamos em tangente, devemos pensara em derivada, logo, vamos derivar a expressão da corrente:

i I 0 = e - t τ

d i I 0 d t τ =   - e - t τ

Para t τ = 1 :

d i I 0 d t τ =   - e - 1

A expressão da reta é dada, por:

y = m x - 1 + b

t e r e m o s   q u e   y = i I o     e   x = t τ

Portanto:

Como a reta se inicia a partir do ponto em que t τ = 1 ,   a   r e t a   c o m e ç a r á   e m   b :

b = e - 1

y =   - e - 1 x - 1 + e - 1

Para y = 0:

e - 1 x - 1 = e - 1

x = t τ = 2

Resposta

a) t τ = 2.303 , t τ = 4.605     e   t τ = 6.908

b) t τ = 2