O filtro passa-altas projetado no Problema 15.41 é colocado em cascata com o filtro passa-baixas projetado no Problema 15.42.

a) Descreva o tipo de filtro formado por essa conexão.

b) Especifique as frequências de corte, a frequência média e o fator de qualidade

do filtro.

c) Use os resultados dos problemas 15.35 e 15.40 para calcular a função de transferência do filtro, em função dos fatores de escala.

d) Verifique o cálculo do item (c) usando-o para determinar H(jvo), onde vo é a frequência média do filtro.

Passo 1

  1. Como o filtro passa-alta está em cascata com o filtro passa-baixa, a conexão em cascata é um filtro passa-faixa
  2. A frequência de corte inferior fc1 é a frequência de corte do filtro passa-altas que é dada por,
  3. f c 1   =   2.5   k H z

    A frequência de corte superior fc2 é a frequência de corte do filtro passa-baixa que é dada por,

    f c 2   =   40   k H z

    Determine a frequência central do filtro passa banda,

    f 0   =   f C 1 f c 2

    = ( 2.5 ∙ 10 ³ ) ( 40 ∙ 10 ³ )

    =   10   k H z

    assim,

    f 0   =   10   k H z

    Determine o fator de qualidade do circuito Q,

    Q   =   f 0 f c 2 - f c 1

    = 10000 40000 - 2500

    = 0.267

    Passo 2

  4. Para o filtro passa alta, a frequência do fator de escala é de
  5. K f   =   5000 π

    A função de transferência escalonada do filtro passa-alta é dada por,

    H ' h p ( s )   =   ( s K f ) ⁴ [ ( s K f ) ² + 0.765 ( s K f ) + 1 ] [ ( s K f ) ² + 1.848 ( s K f ) + 1 ]

    = ( s 5000 π ) ⁴ [ ( s 5000 π ) ² + 0.765 ( s 5000 π ) + 1 ] [ ( s 5000 π ) ² + 1.848 ( s 5000 π ) + 1 ]

    multiplicando o numerador e o denominador por ( 5000 π ) ⁴ ,

    H ' h p ( s )   =   s ⁴ ( s ² + 3825 π s + 25 ∙ 10 ⁶ π ² ) ( s ² + 9240 π s + 25 ∙ 10 ⁶ π ² )

    A função de transferência escalonada do filtro passa-baixa é dada por,

    H ' l p ( s )   =   1 [ ( s K f ) ² + 0.765 ( s K f ) + 1 ] [ ( s K f ) ² + 1.848 ( s K f ) + 1 ]

    = 1 [ ( s 80000 π ) ² + 0.765 ( s 80000 π ) + 1 ] [ ( s 80000 π ) ² + 1.848 ( s 80000 π ) + 1 ]

    multiplicando o numerador e o denominador por ( 80000 π ) ⁴

    H ' l p ( s )   =   ( 80000 π ) ⁴ [ s ² + 61200 π s + ( 80000 π ) ² ] [ s ² + 14784 0 π s + ( 80000 π ) ² ]

    A função de transferência escalonada do filtro passa-faixa H'(s) é dada por,

    H ' ( s )   =   H ' h p ( s ) H ' l p ( s )

    = 4096 ∙ 10 ¹ ⁶ π ⁴ s ⁴ D 1 D 2 D 3 D 4

    onde,

    D 1   =   s ²   +   3825 π s   +   25 ∙ 10 ⁶ π ²

    D 2   =   s ²   +   9240 π s   +   25 ∙ 10 ⁶ π ²

    D 3   =   s ²   +   61200 π s   +   ( 80000 π ) ²

    D 4   =   s ²   +   147840 π s   +   ( 80000 π ) ²

    Passo 3

  6. A função de transferência central em rad/s dada por,

w 0   =   2 π f 0

= ( 2 π ) ( 10000 )

= 20000 π   r a d / s

determinando o valor de s ⁴

s ⁴   =   ( j w 0 ) ⁴

= ( j 20000 π ) ⁴

= 16 ∙ 10 ¹ ⁶ π ⁴

agora determinando o valor de D 1

D 1   =   ( j 20000 π ) ²   +   3825 π ( j 20000 π ) + 25 ∙ 10 ⁶ π ²

= 10 ⁶ π ² ( 382.72 ∠ 168.47 ⁰ )

determinando o valor de D 2

D 2   =   ( j 20000 π ) ² + 9240 π ( j 20000 π ) + 25 ∙ 10 ⁶ π ²

= 10 ⁶ π ² ( 418.06 ∠ 153.77 ⁰ )

Determinando o valor de D 3

D 3   =   ( j 20000 π ) ²   +   6 1200 π ( j 20000 π )   +   ( 80000 π ) ²

= 10 ⁶ π ² ( 6123.58 ∠ 11.53 ⁰ )

agora determinar o valor de D 4

D 4 = ( j 20000 π ) ²   +   147840 π ( j 20000 π )   +   ( 80000 π ) ²

= 10 ⁶ π ² ( 6689 ∠ 26.23 ⁰ )

A magnitude da função de transferência em escala é dada por,

| H ' ( j w 0 ) |   =   ( 16 ∙ 10 ¹ ⁶ π ⁴ ) ( 4096 ∙ 10 ¹ ⁶ π ⁴ ) ( π ⁸ 10 ² ⁴ ) [ ( 382.72 ) ( 418.06 ) ( 6123.58 ) ( 6689 ) ]

= 0.999

então,

| H ' ( j w 0 ) |   =   0.999

O valor ideal de | H ' ( j w 0 ) | é a unidade, então o resultado da parte c está correto.

Resposta

  1. A conexão em cascata é um filtro passa-faixa
  2. f c 1   =   2.5   k H z ;   f c 2   =   40   k H z ;   f 0   =   10 k H z ;   Q   =   0.267
  3. H ' ( s )   = 4096 ∙ 10 ¹ ⁶ π ⁴ s ⁴ D 1 D 2 D 3 D 4
  4. | H ' ( j w 0 ) |   =   0.999