Para o filtro passa-faixa visto na Figura 23.107:

  1. Determine a resposta em frequência de A v = V 0 /   V i na faixa de frequência de 100 Hz a 1 MHz.
  2. Determine o fator de qualidade Q P e a largura da banda.

Passo 1

Saudações galera, tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício!

Antes de começar teremos que lembrar de algumas relações que serão uteis na resolução desse exercício, beleza!

Primeiro vamos relembrar a equação utilizada para encontrar a frequência de um filtro passa- faixa f p :

f p =   1 2 π L C . 1 - R l ² C L

Observamos a figura 23.107 , temos lá o valor de L = 0,001 µ F ;C= 1 m H ; R = 3,3 K Ω e R l = 16 Ω   substituindo na equação teremos:

f p =   1 2   x   3,1415   1   x   10 - 3 .     0,001   x   10 - 6 . 1 - 16 2 . 0,001   x   10 - 6 1   x   10 - 3

f p =   1 6,283   x   10 - 6 . 1 - 2,56 x   10 - 4

f p =   1 6,283   x   10 - 6 . 1  

f p =   159,15   K H z

Passo 2

Em nosso segundo passo vamos calcular o ganho e a impedância para o filtro passa- faixa, para isso utilizaremos as equações (1) e (2) abaixo:

Q l =   X L R l                 ( 1 )

Lembrando que X L = 2 π f p . L

Para a impedância temos:

Z =   Q l 2 . R l             ( 2 )

Tudo Tranquilo? Vamos continuar então!

Vamos substituir os valores encontrado no circuito nas relações acima, temos:

Q l =   2 π f p . L R l                

Q l =   2   x   3,1415   .   159,15   x   10 3 .   1   x   10 - 3   16  

Q l =   999,93 16

Q l =   62,5  

Para encontrar a impedância:

Z =   Q l 2 . R l          

Z =   62,5 2 . 16

Z =   62500   Ω     o u   62,5   K Ω      

Vamos teorizar um pouco, tranquilo!

Para esse problema em especifico vamos considera que a ressonância nesse circuito ocorre quando V 0 ≅ V i . Além disso vamos substituir o valor do circuito RLC por uma carga de 4 K Ω .

Por que 4 K Ω   ?

Porque é a equivalência do circuito RLC que afeta a curva de ressonância e consequentemente a banda passante.

Tudo bem? podemos continuar?

Vamos nessa então!

Passo 3

Visto que o ganho A v =   V 0 V i está sendo calculado na frequência de corte temos que:

A v =   V 0 V i = 0,707   V

Para frequências próximas e abaixo de f p , temos :

X =   X C . X L X C -   X l

R =   X C . X L X C -   X l

Lembrando que:

X C =   1 2 π   f 1 C e X L = 2 π f 1 . L

Vamos substituir essas expressões na equação de R acima, beleza!

R =   1 2 π   f 1 C . 2 π f 1 . L 1 2 π   f 1 C     -   2 π f 1 . L

Vamos simplificar essa equação pavorosa!

R =   L   C 1 2 π   f 1 C     -   2 π f 1 . L

Calminha, vamos deriva-la usando a regra do quociente em relação a R e teremos:

f 1 2 +   1 2 π R C f 1 -   1 4 π L C = 0  

Utilizando as situações:

1 2 π R C =   1 2   x   3,1415   x   4   x   10 3 x   0,001 x   10 - 6

1 2 π R C =   1   2,513   x   10 - 6 = 39 ,   7   x   10 3   o u   39,7   K

1 4 π L C = 1 4   x   ( 3,1415 ) ²   x   1   x   10 - 3 x   0,001 x   10 - 6

1 4 π L C = 1   3,94   x   10 - 11 = 2,53   x   10 10

Substituindo na equação f 1 , teremos:

f 1 2 + 39 ,   7   x   10 3   f 1 - 2,53   x   10 10   = 0

Criatura essa questão não acaba não?

Tá quase acabando!

Agora devemos resolver essa pavorosa equação do 2º grau:

f 1 2 + 39 ,   7   x   10 3   f 1 - 2,53   x   10 10   = 0

f 1 = - ( 39 ,   7   x   10 3 ) ± ( 39 ,   7   x   10 3 ) 2 - 4 .   1 . ( - 2,53   x   10 10 ) 2 . 1

f 1 = - 39 ,   7   x   10 3 ± 320587,1 2

f 1 = 140,4   x   10 3   H z   o u   140,4   K H z

Passo 4

Vamos encontrar as frequências a banda passante, tranquilo!

Usaremos a equação abaixo:

Lembrando que:

f p =   159,15   K H z

f 1 =   f 1 = 140,4   x   10 3   K H Z   o u   140,4   K H z

f 1 -   f p =   B W 2

f 1 -   f p =   B W 2

140,4   x   10 3 - 159,15   K H z = B W 2  

2 ( 18,75 )   x   10 3 = B W  

37,5   x   10 3   K H z = B W  

Ufa! Esse item chegou ao fim!

Vamos para o próximo

Passo 5

Quase acabando, último item:

Para encontrar o ganho total do filtro vou utilizar a relação:

Q p =   f p B W

Substituindo os valores:

Q p =   159,1   x   10 3 37,5   x   10 3

Q p =   4,24  

Resposta

a) B W = 37,5 K H z

b)   Q p =   4,24