A finalidade deste problema é desenvolver as equações de projeto para o circuito na Figura P15.53. (Veja o Problema 15.48 para sugestōes sobre o desenvolvimento de equações de projeto.)

a) Com base em uma análise qualitativa, descreva o tipo de filtro implementado pelo circuito.

b) Verifique a conclusão a que você chegou em (a) derivando a função de transferência V / V i . Escreva a funçāo de transferência na forma que a torne compatível com a Tabela 15.1.

c) Quantas escolhas livres há na seleção dos componentes do circuito?

d) Calcule as expressões para as condutâncias G 1 = 1 / R 1 e G 2 = 1 / R 2 em termos de C 2 , C 2 e os coeficientes b 0 e b 1 * . Veja o Problema 15.48 para a definição de b ρ e b 1 )

e) Há restrições para C 1 ou C 2 ?

f) Suponha que o circuito na Figura P15.53 seja usado para projetar um filtro Butterworth passa baixas de quarta ordem de ganho unitário. Especifique os valores prototípicos de R 1 ∈ R 2 do filtro protótipo se, em cada seção de segunda ordem, forem usados capacitores de 1   F .

Passo 1

[a] Em baixas frequências as ramificações do capacitor estão abertas;   v o = v i . Em altas frequências, os ramos do capacitor são curtos-circuitos e a tensão de saída é zero. Portanto, o circuito se comporta como um filtro passa-baixa de ganho unitário.

Passo 2

[b] Seja v a a tensão-terra no terminal direito de R 1 . Observe que esta também será a tensão no terminal esquerdo de R 2 . As equações do domínios são

V a - V i G 1 + V a - V o s C 1 = 0 V o - V a G 2 + s C 2 V o = 0

Ou

G 1 + s C 1 V a - s C 1 V o = G 1 V i - G 2 V a + G 2 + s C 2 V o = 0 ∴   V a = G 2 + s C 2 V o G 2 ∴   G 1 + s C 1 G 2 + s C 2 G 2 - s C 1 V o = G 1 V i ∴   V o V i = G 1 G 2 G 1 + s C 1 G 2 + s C 2 - C 1 G 2 s

Que reduz para

V o V i = G 1 G 2 / C 1 C 2 s 2 + G 1 C 1 s + G 1 G 2 C 1 C 2 = b o s 2 + b 1 s + b o

Passo 3

[c] Existem quatro componentes do circuito e duas restrições impostas por H(s); portanto, há duas escolhas livres.

Passo 4

[ d ] b 1 = G 1 C 1 ∴ G 1 = b 1 C 1

b o = G 1 G 2 C 1 C 2 ∴ G 2 = b o b 1 C 2

Passo 5

[e] Não, todos os capacitores fisicamente realizáveis ​​produzirão resistores fisicamente realizáveis.

Passo 6

[f] Da Tabela 15.1 sabemos que a função de transferência do protótipo do filtro Butterworth de 4ª ordem é

H ( s ) = 1 s 2 + 0.765 s + 1 s 2 + 1.848 s + 1

Na primeira seção b o = 1 , b 1 = 0.765

∴ G 1 = ( 0.765 ) ( 1 ) = 0.765   S R 1 = 1 / G 1 = 1.307 Ω G 2 = 1 0.765 ( 1 ) = 1.307   S R 2 = 1 / G 2 = 0.765 Ω

Na segunda seção   b o = 1 , b 1 = 1.848

∴ G 1 = 1.848   S R 1 = 1 / G 1 = 0.541 Ω

G 2 = 1 1.848 ( 1 ) = 0.541   S R 2 = 1 / G 2 = 1.848 Ω

Resposta

a. o circuito se comporta como um filtro passa-baixa de ganho unitário

b. b o s 2 + b 1 s + b o

c. há duas escolhas livres.

d. G 2 = b o b 1 C 2

e. Não, todos os capacitores fisicamente realizáveis ​​produzirão resistores fisicamente realizáveis.

f.   R 2 = 1 / G 2 = 1.848 Ω