A finalidade deste problema é ilustrar a vantagem de um filtro Butterworth passa-baixas de n-ésima ordem em relação a uma cascata de n seções passa-baixas idênticas mediante o cálculo da inclinação (em decibéis por década)

de cada gráfico de amplitude na frequência de corte vc. Para facilitar o cálculo, represente a amplitude (em decibéis) por y e faça x = log10v. Então, calcule dy/dx em vc para cada curva.

a) Mostre que, na frequência de corte (vc = 1 rad/s) de um filtro protótipo Butterworth passa-baixas de n-ésima ordem,

b) Mostre que, para uma cascata de n seções idênticas de filtros protótipos passa-baixas, a inclinação em vc é

c) Calcule dy/dx para cada tipo de filtro em

n = 1, 2, 3, 4 e q.

d) Discuta o significado dos resultados obti-

dos no item (c)

Passo 1

  1. Para o filtro Butterworth, a magnitude do gráfico é dada por,
  2.   y   =   20 l o g 10 1 1 + w 2 n

    = - 10 l o g 10 ( 1 + w 2 n )

    usando as leis logarítmicas, a expressão de y pode ser escrita da seguinte forma,

    y   = ( - 10 l n   10 ) ) l n ( 1 + w 2 n )

    então, a primeira derivada de y em relação a w é dada por,

    d y d w   =   ( - 10 l n   10 ) 2 n w 2 n - 1 1 + w 2 n

    deixe a variável x ser dada da seguinte forma,

    x   =   l o g   10 w

    = l n   w l n   10

    l n   w   =   x   l n   10

    diferencie ambos os lados em relação a x,

    1 w d w d x =   l n   10

    multiplique ambos os lados por w,

    d w d x = w   l n   10

    a derivada de y em relação a x é dada por,

    d y d x =   d y d w ( d w d x )

    = - 20 n w 2 n 1 + w 2 n   d B / d e c a d e

    quando w   =   w c   =   1   r a d / s o valor de d y d x é dado por,

    d y d x = - 20 n 1 + 1

    =   - 10 n   d B / d e c a d e  

    Passo 2

  3. para o filtro em cascata, a magnitude do gráfico é dada por,
  4. y =   20   l o g 10 1 [ 1 + w ² ] n

    = - 10 n   l o g 10 ( 1 + w ² )

    usando as leis logarítmicas, a expressão de pode ser escrita da seguinte forma,

    y   =   ( - 10 n l n   10 )   l n ( 1 + w ² )

    então, a primeira derivada de y em relação a w é dada por,

    d y d w = ( - 10 n l n   10 ) ( 1 1 + w ² ) ( 2 w )

    = - 20 n w ( l n   10 ) ( 1   +   w ² )

    Seja a variável x dada da seguinte forma

    x   =   l o g 10 w

    = l n   w l n   10

    l n   w   =   x   l n   10

    diferencie ambos os lados em relação a x,

    1 w d w d x = l n   10

    multiplique ambos os lados por w,

    d y d x = ( d y d w ) ( d w d x )

    = - 20 n w ² 1 + w ²   d B / d e c a d e

    a frequência de canto é dada por,

    w c   =   2 1 / n - 1

    então, a derivada em w c é dada por,

    d y d x = - 20 n [ 2 1 / n - 1 ] 2 1 / n dB/decade

    Passo 3

  5. para o filtro butterworth, os valores de dy/dx para n = 1, 2, 3, 4 e ∞ são dados por,
  6. d y d x | n = 1   =   - 10   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 2   =   - 20   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 3   =   - 30   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 4   =   - 40   d B / d e c a d e

    d y d x | n = ∞   =   - ∞   d B / d e c a d e

    para o filtro em cascata, os valores de dy/dx para n = 1, 2, 3, 4 são dados por,

    d y d x | n = 1   =   - 10   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 2   =   - 11.72   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 3   =   - 12.38   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 4   =   - 12.73   d B / d e c a d e

    Para n = ∞ usando a regra de l'hospital, a segunda derivada de dy/dx em relação a n é dada por

    d ² d n ² d y d x   =   - 20   l n 2 ( 2 3 / n ) 2 4 / n

    então, o valor de dy/dx em n = ∞ é dado por,

    d y d x   = l i m   n   → ∞ - 20   l n 2 ( 2 3 / n ) 2 4 / n  

    =   -   20   l n   2

    =   -   13.86

    assim,

    d y d x | n = 1 ∞   =   - 13.86   d B / d e c a d e

  7. A degradação na magnitude da parcela é muito maior no caso Butterworth, o que resulta em uma região de transição mais estreita.

Resposta

  1. =   - 10 n   d B / d e c a d e  
  2. d y d x = - 20 n [ 2 1 / n - 1 ] 2 1 / n dB/decade
  3. d y d x | n = 1   =   - 10   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 2   =   - 20   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 3   =   - 30   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 4   =   - 40   d B / d e c a d e

    d y d x | n = ∞   =   - ∞   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 1   =   - 10   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 2   =   - 11.72   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 3   =   - 12.38   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 4   =   - 12.73   d B / d e c a d e

    d y d x | n = 1 ∞   =   - 13.86   d B / d e c a d e

  4. A região de transição butterworth é muito mais estreita