A finalidade deste problema é ilustrar a vantagem de um filtro Butterworth passa-baixas de n-ésima ordem em relação a uma cascata de n seções passa-baixas idênticas mediante o cálculo da inclinação (em decibéis por década)
de cada gráfico de amplitude na frequência de corte vc. Para facilitar o cálculo, represente a amplitude (em decibéis) por y e faça x = log10v. Então, calcule dy/dx em vc para cada curva.
a) Mostre que, na frequência de corte (vc = 1 rad/s) de um filtro protótipo Butterworth passa-baixas de n-ésima ordem,
b) Mostre que, para uma cascata de n seções idênticas de filtros protótipos passa-baixas, a inclinação em vc é
c) Calcule dy/dx para cada tipo de filtro em
n = 1, 2, 3, 4 e q.
d) Discuta o significado dos resultados obti-
dos no item (c)
Passo 1
- Para o filtro Butterworth, a magnitude do gráfico é dada por,
- para o filtro em cascata, a magnitude do gráfico é dada por,
- para o filtro butterworth, os valores de dy/dx para n = 1, 2, 3, 4 e ∞ são dados por,
- A degradação na magnitude da parcela é muito maior no caso Butterworth, o que resulta em uma região de transição mais estreita.
usando as leis logarítmicas, a expressão de y pode ser escrita da seguinte forma,
então, a primeira derivada de y em relação a w é dada por,
deixe a variável x ser dada da seguinte forma,
diferencie ambos os lados em relação a x,
multiplique ambos os lados por w,
a derivada de y em relação a x é dada por,
quando o valor de é dado por,
Passo 2
usando as leis logarítmicas, a expressão de pode ser escrita da seguinte forma,
então, a primeira derivada de y em relação a w é dada por,
Seja a variável x dada da seguinte forma
diferencie ambos os lados em relação a x,
multiplique ambos os lados por w,
a frequência de canto é dada por,
então, a derivada em é dada por,
dB/decade
Passo 3
para o filtro em cascata, os valores de dy/dx para n = 1, 2, 3, 4 são dados por,
Para n = ∞ usando a regra de l'hospital, a segunda derivada de dy/dx em relação a n é dada por
então, o valor de dy/dx em n = ∞ é dado por,
assim,
Resposta
- dB/decade
- A região de transição butterworth é muito mais estreita