A finalidade deste problema é orientá-lo na análise necessária para estabelecer um procedimento de projeto para a determinação dos componentes de um filtro. O circuito a ser analisado é mostrado na Figura P15.48.

a) Analise o circuito do ponto de vista qualitativo e convença-se de que o circuito é um filtro passabaixas com um ganho na faixa de passagem R 2 / R 1 .b) Comprove sua análise qualitativa deduzindo a função de transferência V J V i . (Sugestāo: ao deduzir a função de transferência, represente os resistores por suas condutâncias equivalentes, isto é, G 1 = 1 / R 1 e assim por diante.) Para usar a Tabela 15.1, coloque a função de transferência na forma

H ( s ) = - K b o s 2 + b 1 s + b o

c) Agora, observe que temos cinco componentes de circuito - R p , R 2 , R 3 , C 1 e C 2 - e três restriçôes aplicadas à função de transferência - K , b 1 e b e À primeira vista, parece que temos duas opços livres entre os cinco componentes. Todavia, quando investigamos as relaçoes entre eles e as restriçōes à funçāo de transferência vemos que, se C 2 for escoIhido, há um limite superior para C 1 acima do qual não é possível obter um valor para R 2 G 2 . Com isso em mente, mostre que, se C 2 = 1   F , as três condutâncias serão dadas pelas expressões

G 1 = K G 2 ; G 3 = b e G 2 C 1 ; G 2 = b 1 ± b 1 2 - 4 b o ( 1 + K ) C 1 2 ( 1 + K ) .

Para  G 2  ser realizável ,

C 1 ≤ b 1 2 4 b o ( 1 + K )

d) Com base nos resultados obtidos em (c), esboce o procedimento de projeto para selecionar os componentes do circuito, uma vez conhecidos K , b 0 e b 1

Passo 1

[a] Em frequências muito baixas, os dois ramos do capacitor estão abertos e, como o amplificador operacional é ideal, a corrente R 3 é zero. Portanto em baixas frequências o circuito se comporta como um amplificador inversor com ganho de R 2 / R 1 . Em frequências muito altas, os ramos do capacitor são curtos-circuitos e, portanto, a tensão de saída é zero.

Passo 2

[b] Deixe o nó onde R 1 , R 2 , R 3 , e C 2 se unem ser denotado como a, então

V a - V i G 1 + V a s C 2 + V a - V o G 2 + V a G 3 = 0 - V a G 3 - V o s C 1 = 0 ou G 1 + G 2 + G 3 + s C 2 V a - G 2 V o = G 1 V i

V a = - s C 1 G 3 V o

Resolvendo para   V o / V i

H ( s ) = - G 1 G 3 G 1 + G 2 + G 3 + s C 2 s C 1 + G 2 G 3

= - G 1 G 3 s 2 C 1 C 2 + G 1 + G 2 + G 3 C 1 s + G 2 G 3 = - G 1 G 3 / C 1 C 2 s 2 + G 1 + G 2 + G 3 C 2 s + G 2 G 3 C 1 C 2 = - G 1 G 2 G 3 G 2 C 1 C 2 s 2 + G 1 + G 2 + G 3 C 2 s + G 3 G 3 C 1 C 2 = - K b o s 2 + b 1 s + b o

em que   K = G 1 G 2 ; b o = G 2 G 3 C 1 C 2

e b 1 = G 1 + G 2 + G 3 C 2

Passo 3

[c] equacionando coeficientes vemos que

G 1 = K G 2 G 3 = b o C 1 C 2 G 2 = b o C 1 G 2

Uma vez que pela hipótese   C 2 = 1 F

b 1 = G 1 + G 2 + G 3 C 2 = G 1 + G 2 + G 3 b 1 = K G 2 + G 2 + b o C 1 G 2 b 1 = G 2 ( 1 + K ) + b o C 1 G 2

Resolvendo esta equação quadrática para G 2 , obtemos

G 2 = b 1 2 ( 1 + K ) ± b 1 2 - b o C 1 4 ( 1 + K ) 4 ( 1 + K ) 2

= b 1 ± b 1 2 - 4 b o ( 1 + K ) C 1 2 ( 1 + K )

Para que G 2 seja realizável

C 1 < b 1 2 4 b o ( 1 + K )

Passo 4

[d] 1. Selecione C 2 = 1   F

2.Selecione C 1 tal que C 1 < b 1 2 4 b o ( 1 + K )

3.Calcule G 2 R 2

4.Calcule G 1 R 1 ; G 1 = K G 2

5. Calcule G 3 R 3 ; G 3 = b o C 1 / G 2

Resposta

a . tensão de saída é zero

b.   b 1 = G 1 + G 2 + G 3 C 2

c.   C 1 < b 1 2 4 b o ( 1 + K )

d. G 3 = b o C 1 / G 2