a) Find if , , and
b) Evaluate the determinant
Passo 1
a) Aqui temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas, portanto, podemos resolvê-lo de diversas maneiras. Aqui vamos fazer por eliminação de Gauss. Na eliminação de Gauss, escolhemos um elemento pivô e vamos subtraindo a linha desse elemento das outras, até termos uma coluna de zeros abaixo deste elemento, em seguida usamos um elemento da linha e da coluna seguinte como pivô e repetimos o procedimento, como mostrado a seguir:
Nesse caso trocar a segunda linha com a terceira ficando com o sistema da seguinte forma:
Escolheremos o primeiro elemento da primeira linha como pivô e somaremos duas vezes a linha 1 na linha 2 para ficarmos com:
Agora somaremos 5 vezes alinha 1 na linha 3:
Agora dividiremos a segunda linha por -0.9:
E por fim somaremos 1.4 vezes a linha dois na linha 3 para chegar a:
Agora basta calcular na última linha:
E por fim basta substituir na segunda linha para encontrar :
Repare que poderíamos encontrar V2 com dois passos a menos se tivéssemos feito a eliminação de v3 na terceira linha ao invés de v2! Mas todos esses procedimentos são bem interessantes de serem praticados, visto que utilizaremos bastante na análise de circuito usando os métodos das malhas e dos nós.
Passo 2
b) Para calcular esse determinante, se usássemos os métodos comuns(que usamos para matriz 3x3 por exemplo) demoraríamos muito visto que aqui temos uma matriz 4x4, entretanto, vimos na letra a) que com a eliminação de Gauss nós conseguimos transformar uma matriz em uma matriz triangular equivalente e se lembrando um pouco lá da álgebra linear, o determinante de uma matriz seja ela triangular superior ou inferior é o produto dos termos de sua diagonal, portanto podemos utilizar esse método rápido e prático para calcular esse determinante. Escrevendo a matriz na forma de sistema de equações, teremos:
Utilizando a eliminação de Gauss (mesmo procedimento utilizado no item a)), chagaremos a seguinte matriz triangular superior:
Agora multiplicando os termos da diagonal principal chegaremos ao seguinte valor para o determinante
Resposta
a)
b)