Find for t in the circuit shown in Fig. 9.41
Passo 1
Faaala, galerinha! Bora fazer essas juntos? Aqui o enunciado nos pediu para encontrar a expressão da corrente no indutor para t . Primeiramente vamos obter as condições iniciais do nosso circuito. Antes da chave fechar em t = 0 o circuito estava em seu estado estável sob influência de uma fonte de tensão CC, logo, o indutor estava se comportando como um curto circuito e o capacitor como um circuito aberto. Nessas condições a corrente no indutor era a mesma corrente que passa pelo resistor de 5 e, portanto, será dada por:
A tensão no capacitor será a mesma tensão no resistor de 1 já que estão em paralelo:
Passo 2
Agora que sabemos as condições iniciais, podemos analisar o circuito para t . Quando a chave é fechada em t = 0, a fonte e o resistor de 5 serão curto circuitados e ficaremos com um circuito RLC paralelo e para analisar o esse circuito vamos primeiramente encontrar o valor das frequências :
A frequência de neper será dada por:
A frequência natural não amortecida , será dada por:
Agora vamos calcular as raízes da equação característica, que será dadas por:
Aplicando os valores, encontraremos:
Como temos duas raízes reais distintas, a expressão de será da seguinte forma:
Agora vamos utilizar as condições iniciais obtidas no passo 1 afim de encontrar relações que nos ajudem a determinar o valor das constantes A1 e A2. Como encontramos o valor para iL(0) podemos igualar a expressão (1) com esse valor para t=0:
E lembrando que como temos um circuito em paralelo a tensão nos elementos será a mesma, e como temos a tensão no capacitor para t = 0, podemos igualar esse valor a expressão da tensão no indutor:
Lembrando que o terminal positivo do capacitor está conectado com o negativo do indutor, logo a tensão terá sinal oposto (-2)
Rearrumando:
Agora podemos derivar (1) e igualar ao valor obtido anteriormente:
Formando um sistema com (2) e (3):
Resolvendo o sistema, teremos:
Passo 3
E por fim aplicaremos o valor que encontramos para as constantes na expressão (1):
E aqui finalizamos a questão, pessoal. Até a próxima! 😊