Find i L (t) for t >= 0 in the circuit shown in Fig. 9.41

Passo 1

Faaala, galerinha! Bora fazer essas juntos? Aqui o enunciado nos pediu para encontrar a expressão da corrente no indutor i L para t >= 0 . Primeiramente vamos obter as condições iniciais do nosso circuito. Antes da chave fechar em t = 0 o circuito estava em seu estado estável sob influência de uma fonte de tensão CC, logo, o indutor estava se comportando como um curto circuito e o capacitor como um circuito aberto. Nessas condições a corrente no indutor era a mesma corrente que passa pelo resistor de 5 omega e, portanto, será dada por:

i L (0 -) = (12)/(5 + 1) = 2 A

A tensão no capacitor será a mesma tensão no resistor de 1 omega já que estão em paralelo:

V c (0 -) = 1 xx 2 = 2 V

Passo 2

Agora que sabemos as condições iniciais, podemos analisar o circuito para t >= 0 . Quando a chave é fechada em t = 0, a fonte e o resistor de 5 omega serão curto circuitados e ficaremos com um circuito RLC paralelo e para analisar o esse circuito vamos primeiramente encontrar o valor das frequências alpha e omega 0 :

A frequência de neper alpha será dada por:

alpha = (1)/(2 R C) = (1)/(2 xx 1 xx 2 xx 10^(- 3)) = 250

A frequência natural não amortecida omega 0 , será dada por:

omega 0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt((1)/(43) xx 2 xx 10^(- 3))) = 22500

Agora vamos calcular as raízes da equação característica, que será dadas por:

S 1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega 0^2)

Aplicando os valores, encontraremos:

S 1 = - 50

S 2 = - 450

Como temos duas raízes reais distintas, a expressão de i L será da seguinte forma:

i L (t) = A 1 e^(- 50 t) + A 2 e^(- 450 t) A ( 1 )

Agora vamos utilizar as condições iniciais obtidas no passo 1 afim de encontrar relações que nos ajudem a determinar o valor das constantes A1 e A2. Como encontramos o valor para iL(0) podemos igualar a expressão (1) com esse valor para t=0:

i L (0) = A 1 e^(- 50 xx 0) + A 2 e^(- 450 xx 0) = 2

A 1 + A 2 = 2 ( 2 )

E lembrando que como temos um circuito em paralelo a tensão nos elementos será a mesma, e como temos a tensão no capacitor para t = 0, podemos igualar esse valor a expressão da tensão no indutor:

Lembrando que o terminal positivo do capacitor está conectado com o negativo do indutor, logo a tensão terá sinal oposto (-2)

V L (0) = L (d i ( 0 ))/(d t) = - 2

Rearrumando:

(d i ( 0 ))/(d t) = (- 2)/(L) = (- 2)/((1)/(45)) = - 90

Agora podemos derivar (1) e igualar ao valor obtido anteriormente:

(d i (0))/(d t) = - 50 A 1 - 450 A 2 = - 90

- 50 A 1 - 450 A 2 = - 90 ( 3 )

Formando um sistema com (2) e (3):

A 1 + A 2 = 2

- 50 A 1 - 450 A 2 = - 90

Resolvendo o sistema, teremos:

A 1 = 2.025 e A 2 = - 0.025

Passo 3

E por fim aplicaremos o valor que encontramos para as constantes na expressão (1):

i L (t) = 2.025 e^(- 50 t) - 0.025 e^(- 450 t) A p a r a t > 0

E aqui finalizamos a questão, pessoal. Até a próxima! 😊

Resposta

i L (t) = 2.025 e^(- 50 t) - 0.025 e^(- 450 t) A p a r a t > 0