Por um fio semicircular passa uma corrente estacionária   I (ele deve estar ligado a alguns outros fios para completar o circuito, mas não vamos nos preocupar com eles aqui). Encontre o campo magnético no ponto P no outro semicírculo (Figura 5.59).

[Resposta: ( μ 0 I / 8 π R )   I n { t g   θ + π 4 / t g   ( θ / 4 ) } ].

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Vamos considerar um ponto no espelhado a P e chamá-lo de r’. Assim temos que:

r ' = R c o s ϕ x ^ - R s i n ϕ y ^

E o ponto de estudo P, por comodidade chamamos de r. Assim temos:

r = R c o s θ x ^ + R s i n θ y ^

Onde a distância entre r’ e r é expressa como:

r = R c o s θ - c o s ϕ x ^ + s i n θ + s i n ϕ y ^

E por último:

d l = R s i n ϕ d ϕ x ^ + R c o s ϕ d ϕ y ^ = R d ϕ ( s i n ϕ x ^ + R c o s ϕ y ^ )

agora conseguimos calcular d l × r , assim :

d l × r = x ^   y ^   z ^   s i n ϕ     c o s ϕ     0   c o s θ - c o s ϕ   s i n θ + s i n ϕ   0  

Agora calculando o determinante, temos que:

d l × r = R 2 1 + s i n θ s i n ϕ - c o s θ c o s ϕ d ϕ z ^ ) = R 2 [ 1 - c o s ⁡ ( θ + ϕ ) ]

Passo 2

Agora podemos calcular o campo magnético, assim temos:

B = μ 0 I 4 π   ∫ d l × r r 3 = μ 0 I 4 π     R 2 z ^ ∫ 0 π 1 - c o s c o s   θ + ϕ   2 R 2 - 2 R 2 c o s c o s   θ + ϕ   3 2 d ϕ  

Agora vamos colocar todas as constantes para fora da integral, para facilitar a visualização, assim temos:

B = μ 0 I 4 π   R 2 z ^ 2 R 2 3 2 ∫ 0 π 1 - c o s c o s   θ + ϕ   1 - c o s c o s   θ + ϕ   3 2 d ϕ

Agora conseguimos reparar que dentro da integral temos elementos em cima e em baixo iguais, o que facilita um pouco. Assim temos:

B = μ 0 I 8 2 π R   z ^ ∫ 0 π d ϕ 1 - c o s c o s   θ + ϕ   1 / 2

B = μ 0 I 8 2 π R   z ^ ∫ 0 π d ϕ s i n s i n   [ θ + ϕ / 2 ]  

A integral de cima é tabelada, com isso temos que:

B = μ 0 I 16 π R   z ^ l n l n   t g θ + ϕ 2   | 0 π

E por fim, temos que:

B = μ 0 I 8 π R   z ^ l n l n   t g θ + π 4 t g θ 4   z ^

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima !!

Resposta

B = μ 0 I 8 π R   z ^ l n l n   t g θ + π 4 t g θ 4   z ^