For the circuit depicted in Fig. 8.59,

a) Write the differential equation that describes the resistor voltage Vr for t > 0.

b) Solve the characteristic equation.

c) Compute Vr just before the switch opens, just after the switch opens, and at t = 1s.

Passo 1

a) Fala, galera! Bora matar essa questãozinha. Para achar a equação diferencial que descreve a tensão no resistor, vamos começar escrevendo a LKT para t > 0:

L d i d t + 5 i = 0                 ( 1 )

V r = - 2 i     →       i = - V r 2                 ( 2 )

Aplicando (2) em (1):

L d - V r 2 d t - 5 - V r 2 = 0  

Ou rearrumando:

2.5 d V r d t + 2.5 V r = 0

Passo 2

b) A equação característica vai ser dada por:

2.5 s + 2.5 = 0             o u           s + 1 = 0

A única solução para essa equação será:

s =   - 1

Portanto:

V r t = A e - t

A ( c o n d i ç ã o   i n i c i a l ) = V r ( 0 )

Passo 3

c) Agora, vamos calcular os valores de Vr para os períodos pedidos no enunciado:

Em t = (0-), a corrente sobre o resistor de 2 Ohm’s poderá ser obtida através de um divisor de corrente:

i 0 - = i ( 0 + ) = 8.333 × 2 1 + 2 + 3 =   3.333

V r 0 - = 2 × 3.333 = 6.666   V  

Em t = (0+), a corrente que fluirá pelo resistor, será a corrente do indutor (pois teremos um circuito RL, já que a fonte estará com um dos terminais em aberto) antes da mudança da posição da chave que será, por divisor de corrente:

i L 0 - = i L ( 0 + ) = 8.333 3 1 + 2 + 3 = 5   A

E, portanto, a tensão no resistor será:

V r = - 2 × 5 = - 10   V    

Note que tivemos que mudar o sinal da corrente, pois ela entrará pelo terminal negativo do resistor.

E para t = (1), vamos utilizar a expressão obtida através da equação diferencial:

V r 1 =   - 10 e - 1 =   - 3.679   V

Resposta

a) 2.5 d V r d t + 2.5 V r = 0

b) s =   - 1 ,     V r t = A e - t  

c) V r 0 - = 6.666   V ,     V r = - 10   V     e   V r 1 =   - 3.679   V