For the circuit of Fig. 9.39, R = 1 , C = 4 F, and L = 20 H. The initial conditions are and .
a) Find an expression for .
b) Determine the peak value and the time at which it occurs.
c) Verify your analysis with a PSpice simulation. Be sure to submit a properly labeled schematic with your plot.
Passo 1
a) Faaala, galera! Para determinar a expressão de , primeiramente vamos encontrar o valor das frequências do nosso circuito.
A frequência de neper ou frequência natural do circuito será dada por:
Como temos um circuito RLC paralelo:
A frequência natural não amortecida ou frequência ressonante , será dada por:
Também teremos que calcular as raízes da equação característica do nosso circuito de segunda ordem, que serão dadas por:
Aplicando os valores obtidos, teremos:
Como temos duas raízes reais e distintas, a expressão para do nosso circuito será dada da seguinte forma:
Agora utilizaremos as condições iniciais fornecidas para encontrar o valor das constantes A1 e A2. Primeiro podemos ver que:
Se , então:
E se em t = 0, então , pois:
E então:
Agora podemos resolver os sistemas formado por (2) e (3):
Resolvendo o sistema, teremos:
Agora aplicando os valores encontrados para as constantes em (1):
Passo 2
b) Para determinar o valor de pico, vamos lembrar da teoria do cálculo. Na análise de máximos e mínimos que aprendemos em cálculo aprendemos que quando a nossa derivada vale 0, temos um ponto de mínimo e máximo nesse local. E é isso que faremos aqui, derivaremos nossa expressão de e igualaremos a 0:
Passando o termo negativo para o outro lado ficaremos com:
Rearrumando ficaremos com:
Aplicando ln em ambos os lados, teremos:
Como só encontramos um valor para t, basta aplicarmos o valor de t que encontramos para saber o valor máximo da tensão:
Passo 3
c) Aqui simulamos o circuito através do software Multisim (outro software de análise de circuitos, poderia ser utilizado) e como podemos ver a simulação converge com os valores obtidos analiticamente:

E aqui finalizamos mais uma questão, galera. Até a próxima!! 😉
Resposta
a)
b)
c)