For the circuit of Fig. 9.39, R = 1 Ω , C = 4 F, and L = 20 H. The initial conditions are i 0 = 8   A and v 0 = 0 .

a) Find an expression for v t ,   t > 0 .

b) Determine the peak value and the time at which it occurs.

c) Verify your analysis with a PSpice simulation. Be sure to submit a properly labeled schematic with your plot.

Passo 1

a) Faaala, galera! Para determinar a expressão de v t   p a r a   t > 0 , primeiramente vamos encontrar o valor das frequências α   e   ω 0 do nosso circuito.

A frequência de neper ou frequência natural do circuito α , será dada por:

Como temos um circuito RLC paralelo:

α = 1 2 R C = 1 2 × 1 × 4 = 0.125   s - 1

A frequência natural não amortecida ou frequência ressonante ω 0 , será dada por:

ω 0 = 1 L C = 1 20 × 4   = 0.112     r a d / s

Também teremos que calcular as raízes da equação característica do nosso circuito de segunda ordem, que serão dadas por:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2

Aplicando os valores obtidos, teremos:

S 1   =   - 0.069   s - 1

S 2 =   - 0.181   s - 1

Como temos duas raízes reais e distintas, a expressão para v ( t ) do nosso circuito será dada da seguinte forma:

v t = A 1 e - 0.069 t + A 2 e - 0.181 t

Agora utilizaremos as condições iniciais fornecidas para encontrar o valor das constantes A1 e A2. Primeiro podemos ver que:

Se v 0 = 0 , então:

v 0 = A 1 + A 2 = 0

A 1 + A 2 = 0                 ( 2 )

E se em t = 0, v 0 = 0 então i R 0 = 0 , pois:

i R ( 0 ) = v 0 R = 0 R = 0

E então:

i C 0 =   - i 0

i C 0 = C d v ( 0 ) d t =   - 8

4 × - 0.069 A 1 - 0.181 A 2 = - 8             3

Agora podemos resolver os sistemas formado por (2) e (3):

A 1 + A 2 = 0                

4 × - 0.069 A 1 - 0.181 A 2 = - 8          

Resolvendo o sistema, teremos:

A 1 =   - 17.89                   e                           A 2 =     17.89  

Agora aplicando os valores encontrados para as constantes em (1):

v t =   - 17.89 e - 0.069 t + 17.89 e - 0.18 t   V

Passo 2

b) Para determinar o valor de pico, vamos lembrar da teoria do cálculo. Na análise de máximos e mínimos que aprendemos em cálculo aprendemos que quando a nossa derivada vale 0, temos um ponto de mínimo e máximo nesse local. E é isso que faremos aqui, derivaremos nossa expressão de v ( t ) e igualaremos a 0:

d v d t = 1.236 e - 0.069 t - 3.236 e - 0.181 t = 0

Passando o termo negativo para o outro lado ficaremos com:

1.236 e - 0.069 t =   3.236 e - 0.181 t

Rearrumando ficaremos com:

1.236 3.236 = e - 0.181 t e - 0.069 t = e - 0.112 t

Aplicando ln em ambos os lados, teremos:

t = ln ⁡ 1.236 3.236 - 0.112 ≅ 8.61   s

Como só encontramos um valor para t, basta aplicarmos o valor de t que encontramos para saber o valor máximo da tensão:

v 8.61 =   - 17.89 e - 0.069 8.61 + 17.89 e - 0.18 8.61 =   - 6.1   V

Passo 3

c) Aqui simulamos o circuito através do software Multisim (outro software de análise de circuitos, poderia ser utilizado) e como podemos ver a simulação converge com os valores obtidos analiticamente:

E aqui finalizamos mais uma questão, galera. Até a próxima!! 😉

Resposta

a) v t =   - 17.89 e - 0.069 t + 17.89 e - 0.18 t   V

b) v 8.61 =   - 6.1   V

c)