For the circuit of Fig. 9.43, the value of the inductance is 1250 mH. Determine v ( t ) if is known that the capacitor initially stores 390 J of energy and the inductor initially stores zero energy.

Passo 1

Faaala, pessoooal!! Bora pra mais uma. Primeiramente, vamos calcular as frequências do circuito α   e   ω 0 :

A frequência de neper α será dada por:

α = 1 2 R C = 1 2 × 2 × 50 × 10 - 3 =   5

A frequência natural não amortecida ω 0 , será dada por:

ω 0 = 1 L C = 1 1250 × 10 - 3 × 50 × 10 - 3 = 4

Portanto temos um circuito com amortecimento supercrítico já que α > ω 0 !

Sabendo que em t = 0 o capacitor armazena 390 J de energia, teremos que:

W C ( 0 ) = C . v C 2 ( 0 ) 2 = 390   J

v C ( 0 ) = 2 × 390 C =   2 × 390 50 × 10 - 3 ≅ 125   V

Portanto:

v C 0 - =   v C 0 = v C 0 + = 125   V

Como o indutor inicia com nenhuma energia armazenada, teremos que:

i L 0 - = i L 0 = i L 0 + = 0

As raízes da equação característica serão dadas por:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2

Aplicando os valores obtidos anteriormente, teremos:

S 1 =   - 8

S 2 =   - 2

Como temos duas raízes reais distintas, a expressão de v(t) terá a seguinte forma:

v t = A e - 8 t + B e - 2 t           ( 1 )

Passo 2

Agora utilizaremos as condições iniciais para encontrar os valores de A e B. Como temos o valor de v(0) e temos um circuito em paralelo as tensões dos elementos serão iguais portanto podemos igualar o valor de v(0) com (1) para t = 0:

v 0 = A e - 8 × 0 + B e - 2 × 0 = 125

A + B = 125               ( 2 )

Aplicando a LKC ao nó superior do circuito:

i L 0 + + i R 0 + + i C 0 + = 0

0 + v ( 0 + ) 2 + i C 0 + = 0

Substituindo os valores:

i C = - v 0 + 2 = - 125 2 =   - 62.5   V

Lembrando da expressão para a corrente no capacitor, teremos que:

i C 0 + = C d v 0 + d t = 50 × 10 - 3 - 8 A e - 8 × 0 + 2 B e - 2 × 0

i C 0 + =   - 62.5 =   - 50 × 10 - 3 ( 8 A + 2 B )

- 62.5 =   - 50 × 10 - 3 8 A + 2 B                   ( 3 )

Passo 3

Montando um sistema com (2) e (3), teremos:

A + B = 125  

- 62.5 =   - 50 × 10 - 3 8 A + 2 B

Resolvendo, encontraremos:

A = 150             e               B =   - 25

Passo 4

Agora, basta aplicar o valor das constantes A e B na expressão (1):

v t = 150 e - 8 t - 25 e - 2 t         p a r a   t > 0

Resposta

v t = 150 e - 8 t - 25 e - 2 t         p a r a   t > 0