(a) Formule uma condição de contorno adequada para substituir a Equação 9.27, para o caso de duas cordas sob tensão T unidas por um nó (emenda) de massa m .

(b) Encontre a amplitude e a fase das ondas transmitida e refletida para o caso onde o nó tem massa m e a segunda corda não tem massa.

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, precisamos definir a condição de contorno para as cordas que o enunciado nos descreveu, depois iremos manipular as equações e acharemos o que a questão pede. Bora lá!!!

Passo 2

Considerando que a corda é contínua no nó:

u 1 ​ z = 0 = u 2 ​ z = 0

Onde o nó é em z = 0 . Para o nó analisado, as forças horizontais são equilibradas, mas as verticais não.

T s e n   θ 2 - T s e n   θ 1 = m u ¨

s e n   θ ≈ tan ⁡ θ = ∂ u ∂ z z = 0

∂ u 2 ∂ z z = 0 - ∂ u 1 ∂ z z = 0 = m T ∂ 2 u ∂ t 2 z = 0

Portanto, as condições são:

u 1 ​ z = 0 = u 2 ​ z = 0

∂ u 2 ∂ z z = 0 - ∂ u 1 ∂ z z = 0 = m T ∂ 2 u ∂ t 2 z = 0

Passo 3

Agora, as ondas incidente, refletida e transmitida são dadas por:

u I = A e i k 1 z - ω t

u R = B e i - k 1 z - ω t

u T = C e i ( k 2 z - ω t )

Pela primeira condição:

A e - i ω t + B e - i ω t = C e - i ω t

                                    A + B = C                                   ( 1 )

Pela segunda condição:

i k 2 C e i ω t - i k 1 A e i ω t - i k 1 B e i ω t = - m T ω 2 C e i ω t

                                        C i k 2 + α = i k 1 ( A - B )                                   ( 2 )

α = m T ω 2

Juntando a equação (1) e (2)

A + B i k 2 + α = i k 1 A - B

B A = R = - α + i k 2 - k 1 α + i ( k 1 + k 2 )

Onde,

k 2 = ω v 2 = ω μ 1 T = 0

R = - α - i k 1 α + i k 1 = α + i k 1 i k 1 - α = R e i ϕ

O que temos aqui é um número complexo divido pelo seu conjugado, então, a amplitude R = 1 .

A fase é dado por:

ϕ = arctan ⁡ I R R R

R = α + i k 1 i k 1 - α = k 1 2 - α 2 + i 2 k 1 α k 1 2 + α 2

ϕ = arctan ⁡ 2 k 1 α k 1 2 - α 2 = arctan ⁡ 2 γ γ 2 - 1

Onde, γ = k 1 / α . Logo, a amplitude da onda refletida e a fase são:

R = 1                                     ϕ = arctan ⁡ 2 γ γ 2 - 1

Passo 4

Para a onda transmitida, vamos usar a equação (1) e o fato de B = R A = A e i ϕ :

A 1 + e i ϕ = C

C A = T = 1 + e i ϕ

T = 1 + cos ⁡ ϕ + i   s e n   ϕ

T = T e i ψ

A magnitude da onda transmitida é:

T = 1 + cos 2 ⁡ ϕ 2 + s e n 2   ϕ = 2 1 + cos ⁡ ϕ

cos ⁡ ϕ = 1 1 + tan 2 ⁡ ϕ = 1 1 + 2 γ γ 2 - 1 2 = γ 2 - 1 γ 2 + 1

Logo, a magnitude é definida por:

T = 2 1 + γ 2 - 1 γ 2 + 1 = 2 γ 2 γ 2 + 1

E a fase é:

ψ = arctan ⁡ s e n   ϕ 1 + cos ⁡ ϕ

s e n   ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ = 1 - γ 2 - 1 γ 2 + 1 2 = 2 γ γ 2 + 1

Logo, a fase é definida por:

ψ = arctan ⁡ 2 γ / ( γ 2 + 1 ) 1 + ( γ 2 - 1 ) / ( γ 2 + 1 )   = arctan ⁡ 1 γ

Resposta

R = 1                                     ϕ = arctan ⁡ 2 γ γ 2 - 1

T = 2 γ 2 γ 2 + 1                         ψ = arctan ⁡ 1 γ