A função periódica da Figura P16.16 é par e tem simetria de meia-onda e de quarto de onda.a) Faça o gráfico de um ciclo completo da função no intervalo - T / 4 ≤ t ≤ 3 T / 4 .b) Calcule os coeficientes de Fourier a k * c) Escreva os primeiros três termos não-nulos da série de Fourier de f ( t ) .d) Use os primeiros três termos não-nulos para estimar f ( T / 8 ) .

Passo 1

Passo 2

[ b ] a v = 0 ;   a k = 0 pata todo k par;   b k = 0 pata todo k

Para k impar, a k = 8 T ∫ 0 T / 4   f ( t ) c o s ⁡ k ω o t d t

a k = 8 T ∫ 0 T / 8   1 + 8 t T c o s ⁡ k ω o t d t + 8 T ∫ T / 8 T / 4   4 - 16 t T c o s ⁡ k ω o t d t

= I n t ⁡ 1 + I n t ⁡ 2

Int1  = 8 T ∫ 0 T / 8   c o s ⁡ k ω o t d t + 64 T 2 ∫ 0 T / 8   t c o s ⁡ k ω o t d t

= 8 T s i n ⁡ k ω o t k ω o 0 T / 8 + 64 T 2 c o s ⁡ k ω o t k 2 ω o 2 + t k ω o s i n ⁡ k ω o t 0 T / 8

k ω o T = 2 k π ;   k ω o T 2 = 4 k 2 π 2 I n t ⁡ 1 = 8 k π s i n ⁡ k π 4 + 16 k 2 π 2 c o s ⁡ k π 4 - 1   k odd

I n t 2 = 32 T ∫ T / 8 T / 4   c o s ⁡ k ω o t d t - 128 T 2 ∫ T / 8 T / 4   t c o s ⁡ k ω o t d t

= 32 T s i n ⁡ k ω o t k ω o T / 8 T / 4 - 128 T 2 c o s ⁡ k ω o t k 2 ω o 2 + t k ω o s i n ⁡ k ω o t T / 8 T / 4

Int2 = - 8 k π s i n ⁡ k π 4 + 32 k 2 π 2 c o s ⁡ k π 4   k odd a k = Int 1 + I n t ⁡ 2

= 16 k 2 π 2 3 c o s ⁡ k π 4 - 1

Passo 3

[c]  a 1 = 48 π 2 c o s ⁡ π 4 - 16 π 2 = 1.817 8

a 3 = 48 9 π 2 c o s ⁡ 3 π 4 - 16 9 π 2 = - 0.5622 a 5 = 48 25 π 2 c o s ⁡ 5 π 4 - 16 25 π 2 = - 0.2024 f ( t ) = 1.8178 c o s ⁡ ω o t - 0.5622 c o s ⁡ 3 ω o t - 0.2024 c o s ⁡ 5 ω o t - ⋯

Passo 4

[d]  f ( T / 8 ) = 1.8178 c o s ⁡ ( π / 4 ) - 0.5622 c o s ⁡ ( 3 π / 4 ) - 0.2024 c o s ⁡ ( 5 π / 4 ) = 1.826 1

Resposta

b.   16 k 2 π 2 3 c o s ⁡ k π 4 - 1

c. f ( t ) = 1.8178 c o s ⁡ ω o t - 0.5622 c o s ⁡ 3 ω o t - 0.2024 c o s ⁡ 5 ω o t - ⋯

d. 1.826 1