A 5   m length of 18 AWG solid copper wire is substituted for the resistor in Practice Problem 9.1.

a) Compute the resonant frequency of the new circuit.

b) Compute the new neper frequency of the circuit.

c) Calculate the percent change in the damping ratio

Passo 1

a) Fala, galerinhaa! Bora pra mais uma. Aqui o enunciado nos pediu para substituir o resistor de 100 Ω no circuito RLC paralelo do problema prático 9.1. O circuito em questão, possui as seguintes características:

ω 0 = 800   r a d / s

    α = 1000   s - 1

Com esses valores, podemos calcular o capacitor e o indutor. Primeiramente vamos encontrar o valor do capacitor utilizando a fórmula de α :

α = 1 2 R C

Aplicando os valores, fornecidos:

1000 = 1 2 × 100 × C

C = 5 × 10 - 6 F = 5   μ F

Agora vamos calcular o valor do indutor, utilizando a fórmula de ω 0 :

ω 0 = 1 L C

800 2 = 1 L × 5 × 10 - 6

L = 0.3215   H = 312.5   m H

Agora calcularemos a resistência do fio que substituirão resistor de 100 Ω. Utilizando a tabela 2.4 do livro, podemos encontrar o valor da resistência fio de cobra com bitola tamanho 18 (AWG) que é equivalente a 6.39 Ω/1000ft.

Agora devemos passar essa medida de Ω/ft para Ω/m. Para isso vamos primeiro descobrir quantos Ohm’s a cada um pé o fio tem:

6.39 Ω 1000 f t = 0.00639 Ω 1 f t

Agora temos que lembrar da seguinte relação:

1 f t = 0.3048   m

Então teremos:

0.00639 Ω 1   f t = 0.00639 Ω 0.3048 m = 0.020965 Ω m

Logo, para um fio de 5m, teremos:

5 m × 0.020965 Ω m = 0.104823 Ω = 104.8   m Ω

Então os parâmetros do nosso novo circuito RLC estão definidos.

Para calcular a frequência de ressonância, só dependemos do valor do indutor e do capacitor, portanto, como esses parâmetros foram mantidos a frequência ω 0 será a mesma:

ω 0 = 800   r a d / s

Passo 2

b) O novo α será dada pela mesma fórmula utilizada no item a):

α = 1 2 R C = 1 2 × 104.8 × 10 - 3 × 5 × 10 - 6 = 954 × 10 3   s - 1

Passo 3

c) Para calcular a porcentagem da diferença da razão de amortecimento, primeiro calcularemos a razão de amortecimento para o RLC original:

A razão de amortecimento é dada por:

ζ = α ω 0

ζ 1 = α 1 ω 0 = 1000 800 = 1.25

Agora calcularemos a nova razão de amortecimento:

ζ 2 = α 2 ω 0 = 954 × 10 3 800 = 1192.5

A porcentagem da diferença será dada por:

ζ 2 - ζ 1 ζ 1 × 100 = 95300 %

Resposta

a) ω 0 = 800   r a d / s

b) α = 954 × 10 3   s - 1  

c) 95300 %