A magnetostática trata a 'corrente fonte' (a que estabelece o campo) e a corrente de prova' (a que sofre a força) tão assimetricamente que de forma alguma fica óbvio que a força magnética entre os dois circuitos de corrente é coerente com a terceira lei de Newton. Mostre, começando com a lei de Biot-Savart (5.32) e com a lei de força de Lorentz (5.16), que a força no circuito 2, devida ao circuito 1 (Figura 5.62), pode ser escrita como

F 2 = - μ 0 4 π   I 1 I 2 ∮ ∮ r ^ r 2 d l 1 ∙ d l 2

Dessa forma, fica claro que F2 =-F1, já que   r ^ muda de sentido quando os papéis de 1 e 2 são permutados. (Se parece que você está obtendo um termo 'a mais', vai ajudá-lo observar que d l 2 ∙ r ^ = d r .)

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Podemos começar observando que pela lei de Biot-savart o campo no loop 1 pode ser da forma:

B 1 = μ 0 I 1 4 π ∮ d l 1 × r ^ r 2  

E a força no lool 2 pode ser expressa como:

F = I 2 ∮ d l 2 × B 1 = μ 0 4 π I 1 I 2 ∮ ∮ d l 2 × d l 1 × r ^ r 2

Agora podemos rearranjar os produtos vetoriais utilizando a relação abaixo:

A × B × C = B A ∙ C - C ( B ∙ A )

Com isso, temos que:

F = μ 0 4 π I 1 I 2 ∮ ∮ d l 1 d l 2 ∙ r ^ - r ^ ( d l 1 ∙ r ^ ) r 2

Rearranjando a expressão acima, temos que:

F = - μ 0 4 π I 1 I 2 ∮ ∮ r ^ r 2 d l 1 ∙ d l 2 - ∮ d l 1 ∮ d l 2 ∙ r ^ r 2

Passo 2

Repare que o primeiro termo é o que queremos encontrar, para isso o segundo deve ser nulo, então vamos investigar isso. Podemos começar expressando r , assim temos:

r = x 2 - x 1 x ^ + y 2 - y 1 y ^ + z 2 - z 1 z ^

Agora vamos pegar a expressão acima e encontra ∇ ( 1 / r ) em relação ao ponto 2. Assim temos:

∇ 2 1 r = ∂ ∂ x 2 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 - 1 2 x ^ + ∂ ∂ y 2 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 - 1 2 y ^ + ∂ ∂ z 2 x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 - 1 2 z ^

Derivando e melhorando um pouco a expressão acima, temos que:

∇ 2 1 r = - x 2 - x 1 r 3 x ^ - y 2 - y 1 r 3   y ^ - z 2 - z 1 r 3 z ^

Observe que se colocarmos 1/   r 3 em evidência, o termo de cima é r , assim temos que:

∇ 2 1 r =   - r r 3 = - r ^ r 2

Assim temos que:

∮ d l 2 r ^ r 2 = - ∮ d l 2 ∇ 2 1 r = 0

Assim chegamos em:

F = - μ 0 4 π I 1 I 2 ∮ ∮ r ^ r 2 d l 1 ∙ d l 2

Assim finalizamos mais uma questão! Até a próxima!

Resposta

Dedução nos passos 1 e 2.