Uma meia-esfera invertida de raio R tem uma densidade superficial de carga uniforme σ . Encontre a diferença de potencial entre o “polo norte” e o centro.

Passo 1

E aí, pessoal!! Tudo tranquilo? Bora pra mais uma. Aqui, vamos inicialmente lembrar que a expressão para o potencial no centro da esfera, será:

V c e n t r o = 1 4 π ϵ 0 ∫ σ r   d a

Sabemos que a distância r entre o centro e a casca da esfera será equivalente ao seu raio R, logo:

V c e n t r o = 1 4 π ϵ 0 σ R   ∫   d a    

A integral ∫   d a será equivalente a 2 π R 2 pois estamos integrando a área da metade de uma esfera, logo:

(Lembrando que área de uma esfera completa é dada por 4 π R 2 )

V c e n t r o = 1 4 π ϵ 0 σ r   2 π R 2 = σ R 2 ϵ 0    

Passo 2

Agora encontraremos a expressão para o potencial no polo norte da esfera. Para o polo norte, teremos que:

V p o l o =   1 4 π ϵ 0 ∫   σ r   d a    

Agora, faremos a mudança de coordenadas para coordenadas esféricas. A mudança ficará da seguinte forma:

f ( x ) = f x = d a   =   2 π R 2 s e n θ d θ , r 2 = R 2 + R 2 - 2 R 2 c o s θ = 2 R 2 ( 1 - c o s θ )

Substituindo na equação anterior, teremos:

V p o l o = 1 4 π ϵ 0 ∫   σ 2 π R 2 s e n θ d θ 2 R 2 ( 1 - c o s θ )   = 1 4 π ϵ 0 σ 2 π R 2 R 2 ∫   s e n θ d θ ( 1 - c o s θ )  

Passo 3

Agora, por fim integraremos de 0 até π 2 :

V p o l o =   1 4 π ϵ 0 σ 2 π R 2 R 2 ∫ 0 π 2 s e n θ d θ ( 1 - c o s θ )  

E assim ficaremos com:

V p o l o = σ R 2 2   ϵ 0 2 1 - c o s θ 0 π 2 = σ R 2   ϵ 0 1 - 0 = σ R 2   ϵ 0  

Agora que temos o valor do potencial no polo, basta fazermos a diferença entre esse potencial e o potencial no centro da meia esfera:

V p o l o - V c e n t r o = σ R 2   ϵ 0 -   σ R 2 ϵ 0 = 2 σ R 2   ϵ 0 - σ R 2 ϵ 0   =   σ R 2 ϵ 0 ( 2 - 1 )  

E chegamos ao fim da questão, galera! Até a próxima. 😊

Resposta

V p o l o - V c e n t r o =   σ R 2 ϵ 0 ( 2 - 1 )