Mostre que o campo médio dentro de uma esfera de raio , devido a toda a carga dentro da esfera, é:
onde é o momento de dipolo total. Há várias maneiras de provar este resultado deliciosamente simples. Eis um dos métodos:
(a) Mostre que o campo médio devido a uma única carga no ponto dentro da esfera é o mesmo que o campo em devido a uma esfera uniformemente carregada , a saber
Onde é o vetor de a .
(b) O expresso anteriormente pode ser encontrado pela lei de Gauss (veja o Problema 2.12). Expresse a resposta em termos do momento de dipolo de .
(c) Use o princípio da superposição e generalize para uma distribuição arbitrária de carga.
(d) Enquanto está com a mão na massa, mostre que o campo médio sobre a esfera devido a todas as cargas externas é o mesmo que o campo que elas produzem no centro.
Passo 1
Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!
Letra a)
Bem pessoal, primeiramente para este item temos que o campo médio sobre a esfera devido à carga dentro da esfera é:
Onde são pontos de para . O campo que a esfera de carga uniforme produz é:
Aqui são pontos de para , então vemos que as duas fórmulas concordam se colocarmos:
Passo 2
Letra b)
O campo dentro de uma bola carregada é:
Onde .
Passo 3
Letra c)
Usamos o fato notável de que a média da soma é igual à soma das médias. Desta forma temos:
Passo 4
Letra d)
Podemos usar o resultado de (a), uma vez que não faz referência específica se a carga está dentro ou fora da esfera. O campo médio é então igual ao campo da esfera uniformemente carregada, fora dela, que é exatamente igual ao campo de uma carga puntiforme em seu centro:
No entanto, este é apenas o campo que uma carga pontual em produz na origem (centro da esfera). O princípio da superposição completa a prova.
Resposta
Letras a)
Letra b)
Letra c)
Letra d)