Mostre que o campo médio dentro de uma esfera de raio R , devido a toda a carga dentro da esfera, é:

E → a v ϵ = 3 4 π R 3  

onde p é o momento de dipolo total. Há várias maneiras de provar este resultado deliciosamente simples. Eis um dos métodos:

(a) Mostre que o campo médio devido a uma única carga q   no ponto r dentro da esfera é o mesmo que o campo em r devido a uma esfera uniformemente carregada ρ =   - q / ( 4 3   π R 3 ) , a saber

1 4 π ϵ 0 1 4 3   π R 3 ∫ q ζ 2 r ^   d r '     ,

Onde ζ é o vetor de r a d r ' .

(b) O expresso anteriormente pode ser encontrado pela lei de Gauss (veja o Problema 2.12). Expresse a resposta em termos do momento de dipolo de q .

(c) Use o princípio da superposição e generalize para uma distribuição arbitrária de carga.

(d) Enquanto está com a mão na massa, mostre que o campo médio sobre a esfera devido a todas as cargas externas é o mesmo que o campo que elas produzem no centro.

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Letra a)

Bem pessoal, primeiramente para este item temos que o campo médio sobre a esfera devido à carga dentro da esfera é:

E → a v ϵ = 3 4 π R 3   ∫ V q 4 π ϵ 0 l 2 l ^ d τ  

Onde l → são pontos de r → para d τ . O campo que a esfera de carga uniforme produz é:

E → = 1 4 π ϵ 0   ∫ V ρ l 2 l ^ d τ  

Aqui l → são pontos de d τ para r → , então vemos que as duas fórmulas concordam se colocarmos:

ρ = - q 4 3 π R 3

Passo 2

Letra b)

O campo dentro de uma bola carregada é:

E → e s f e r a = ρ r 3 ϵ 0 r ^ = - q r 4 R 3 ϵ 0

= - p → 4 π R 3 ϵ 0

Onde p → = q r → .

Passo 3

Letra c)

Usamos o fato notável de que a média da soma é igual à soma das médias. Desta forma temos:

E → a v ϵ ,   t o t a l = - 1 4 π R 3 ϵ 0 ∑ i p → i

= - p → 4 π R 3 ϵ 0

Passo 4

Letra d)

Podemos usar o resultado de (a), uma vez que não faz referência específica se a carga está dentro ou fora da esfera. O campo médio é então igual ao campo da esfera uniformemente carregada, fora dela, que é exatamente igual ao campo de uma carga puntiforme em seu centro:

E → a v ϵ = E → e s f e r a = 4 3 π R 3 ρ 1 4 π ϵ 0 1 r 2 r ^

= 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

No entanto, este é apenas o campo que uma carga pontual em r → produz na origem (centro da esfera). O princípio da superposição completa a prova.

Resposta

Letras a)

V e r   p a s s o   a   p a s s o

Letra b)

E → a v ϵ = - p → 4 π R 3 ϵ 0

Letra c)

E → a v ϵ = - p → 4 π R 3 ϵ 0

Letra d)

V e r   p a s s o   a   p a s s o