Enunciado

Mostre que, se f ( t ) = - f ( t - T / 2 ) , os coeficientes de Fourier b k serão dados pelas expressões b 2 = 0 para k par; b k = 4 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s e n ⁡ k ω e t d t , para k impar.Sugestão: use a mesma técnica empregada no texto para deduzir as equações 16.28 e 16.29 .

Passo 1

E aí galera partiu mais uma questão de circuitos elétricos? Então vem comigo 😊

O exercício pede que a gente Mostre que, se f ( t ) = - f ( t - T / 2 ) , os coeficientes de Fourier b k serão dados pelas expressões

b k = 2 T ∫ - T / 2 0   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t + 2 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t

Agora deixe t = x - T / 2 no primeiro integral, quando d t = d x , x = 0 when t = - T / 2 e x = T / 2 quando t = 0 , also s i n ⁡ k ω 0 ( x - T / 2 ) = s i n ⁡ k ω 0 x - k π = s i n ⁡ k ω 0 x c o s ⁡ k π . Portanto

2 T ∫ - T / 2 0   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t = - 2 T ∫ 0 T / 2   f ( x ) s i n ⁡ k ω 0 x c o s ⁡ k π d x   e

b k = 2 T ( 1 - c o s ⁡ k π ) ∫ 0 T / 2   f ( x ) s i n ⁡ k ω 0 t d t

Passo 2

Agora note quet 1 - c o s ⁡ k π = 0 quando k é par, e 1 - c o s ⁡ k π = 2 when k é ímpar. Portanto b k = 0 quando k é par, e

b k = 4 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t  quando  k  é ímpar

Resposta

b k = 4 T ∫ 0 T / 2   f ( t ) s i n ⁡ k ω 0 t d t  quando  k  é ímpar