Mostre que a onda estacionária f ( z , t ) = A   s e n ( k z )   c o s ( k v t ) satisfaz a equação de onda e expresse-a como a soma de uma onda viajando para a esquerda e outra onda viajando para a direita (equação 9.6)

Passo 1

Olá pessoal, mais um problema para exercitar o cálculo.

Como já vimo no problema 9.1, a condição para satisfazer a equação de onda, é dada por:

v 2   ∂ 2 f ∂ z 2 = ∂ 2 f ∂ t 2  

Então precisamos calcular as segundas derivadas da função dada pelo enunciado.

∂ f ∂ z =   A k   c o s ( k z )   c o s   ( k v t )   →   ∂ 2 f ∂ z 2 =   - A k 2   s i n ( k z )   c o s   ( k v t )

∂ f ∂ t =   - A k v   s i n ( k z )   s i n   ( k v t )   → ∂ 2 f ∂ t 2 =   - A k 2   v 2   s i n ( k z )   c o s   ( k v t ) =   v 2 ∂ 2 f ∂ z 2  

Como observamos, a função satisfaz a condição da equação de onda.

Passo 2

Para escrever a função como a soma de uma onda viajando para a esquerda e outra onda viajando para a direita, vamos usar a identidade:

s i n ( a )   c o s ( b ) = 1 / 2   [ s i n ( a + b ) + s i n ( a - b ) ]

Assim podemos escrever a f como:

f = A 2   {   s i n [ k ( z + v t ) ] + s i n [ k ( z   -   v t ) ] }

Assim teremos a soma de duas funções que podem descrever uma onda, onde a diferença é apontada na velocidade de propagação, que indica o sentido da propagação (que neste caso é oposta como o enunciado pediu 😉), representadas por g e h:

g = ( A / 2 )   s i n [ k ( z - v t ) ]     e   h = ( A / 2 )   s i n [ k ( z   + v t ) ]      

Resposta

A função dada, satisfaz a condição da equação de onda, e pode ser descrita como duas ondas que viajam para sentidos opostos, representadas por:

g = ( A / 2 )   s i n [ k ( z - v t ) ]     e   h = ( A / 2 )   s i n [ k ( z   + v t ) ]