Mostre que, se f ( t ) é par, os coeficientes exponenciais de Fourier são

c n = a n 2 = 2 T ∫ 0 T 2 f ( t ) cos ⁡ n w 0 t d t

E se f ( t ) é ímpar, são

c n = b n 2 j = 2 j T ∫ 0 T 2 f ( t ) sin ⁡ n w 0 t d t

Passo 1

Nessa questão ele pede para mostrar que, se f ( t ) é par, os coeficientes exponenciais de Fourier são

c n = a n 2 = 2 T ∫ 0 T 2 f ( t ) cos ⁡ n w 0 t d t

E se f ( t ) é ímpar, são

c n = b n 2 j = 2 j T ∫ 0 T 2 f ( t ) sin ⁡ n w 0 t d t

Aposto que você tá com essa cara né? Hahaha fica tranquilo e vem.

Passo 2

Sabendo que,

c n = a n 2 = 2 T ∫ 0 T 2 f ( t ) cos ⁡ n w 0 t d t

Se f ( t ) é ímpar, são

c n = b n 2 j = 2 j T ∫ 0 T 2 f ( t ) sin ⁡ n w 0 t d t

Para,

c n = 1 2 ∫ - 1 0 - 4 e - j n π t d t + 1 2 ∫ 0 t 4 e - j n π t

4 j n π [ 1 - - 1 n ]

Já para,

c 0 = 1 2 ∫ - 1 1 f t d t = - 1 2 ∫ - 1 0 4 d t + 1 2 ∫ 0 1 4 d t = 0

Sendo c 0 = 0   e   c n = 8 j n π , ficando com,

f t = 8 j π ∑ n = - ∞ ∞ 1 2 n - 1 e j 2 n - 1 π t

Espero ter ajudado, até próxima.

Resposta

f t = 8 j π ∑ n = - ∞ ∞ 1 2 n - 1 e j 2 n - 1 π t