Mostre que o pulso da Fig. 18.3 é dado por

f t = u t + a 2 - u t - a 2 a

de forma que

lim a → 0 ⁡ f ( t ) = d u ( t ) d t

Esse argumento é um argumento plausível para calcular-se

δ t = d u ( t ) d t

Passo 1

Então, bora continuar nossa jornada nesta seção? Vem comigo!

Temos a representação gráfica da figura. Quando queremos encontrar uma expressão analítica de uma função “picotada”, isto é, que não é o gráfico de uma única função, vamos começar expressando esta função como uma função por partes.

Assim

f t = 0 ,     t < - a 2 1 a ,     - a 2 < t < a 2 0 ,     t > a 2                         ⇒ f t = 1 a ,     - a 2 < t < a 2 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o  

Passo 2

O próximo passo é representar a função definida por partes como uma combinação de funções de Heaviside. Assim:

f t = 1 a u t - - a 2 - u t - a 2 = 1 a u t + a 2 - u t - a 2

que é a primeira parte da questão. Logo, demonstramos o que foi pedido.

Passo 3

A segunda demonstração começa agora:

Ao fazermos

lim a → 0 ⁡ f ( t )

obtemos

lim a → 0 ⁡ f ( t ) = lim a → 0 ⁡ u t - u ( t ) 0 = 0 0

o que nos dá uma indeterminação. Assim, vamos usar L’Hopital:

lim a → 0 ⁡ f ( t ) = lim a → 0 ⁡ u t + a 2 - u t - a 2 ' a '

Neste ponto, calculamos a derivada do numerador separadamente da do numerador.

A derivada do denominador é a derivada de uma constante. Sendo assim, vale 1 .

O numerador, expresso na forma u t + a 2 - u t - a 2 , nada mais é que a função u ( t ) no intervalo dado pelo gráfico. Sendo assim, sua derivada vale u ' ( t ) que tambem pode ser representado por d u t d t . Assim

lim a → 0 ⁡ f ( t ) = d u ( t ) / d u 1 = d u t d u

Como Queríamos Demonstrar.

Resposta

A demonstração.