Mostre que o pulso da Fig. 18.3 é dado por
de forma que
Esse argumento é um argumento plausível para calcular-se
Passo 1
Então, bora continuar nossa jornada nesta seção? Vem comigo!
Temos a representação gráfica da figura. Quando queremos encontrar uma expressão analítica de uma função “picotada”, isto é, que não é o gráfico de uma única função, vamos começar expressando esta função como uma função por partes.
Assim
Passo 2
O próximo passo é representar a função definida por partes como uma combinação de funções de Heaviside. Assim:
que é a primeira parte da questão. Logo, demonstramos o que foi pedido.
Passo 3
A segunda demonstração começa agora:
Ao fazermos
obtemos
o que nos dá uma indeterminação. Assim, vamos usar L’Hopital:
Neste ponto, calculamos a derivada do numerador separadamente da do numerador.
A derivada do denominador é a derivada de uma constante. Sendo assim, vale .
O numerador, expresso na forma , nada mais é que a função no intervalo dado pelo gráfico. Sendo assim, sua derivada vale que tambem pode ser representado por . Assim
Como Queríamos Demonstrar.
Resposta
A demonstração.