Mostre que a transformada I ( s ) para o circuito dado e determine i ( t ) , para t > 0 , se C = 1 / 13 F , v g ( t ) = 6 V , i ( 0 ) = 2 A e v c ( 0 ) = 4 V .

Passo 1

Iae, meus queridos! Td certinho??

A questão nos disse que:

I s = V g s + I 0 - v c ( 0 ) / s s + 4 + 1 / C s

Vamos transformar v g t para V g s e substituir os valores que temos em I s .

Se v g t = 6 V , V g s = 6 s

I s = 6 / s + 2 - 4 / s s + 4 + 1 / 1 13 s

I s = 6 / s + 2 - 4 / s s + 4 + 13 / s

I s = 6 + 2 s - 4 s s 2 + 4 s + 13 s

I s = 2 + 2 s s 2 + 4 s + 13

I s = 2 · s + 2 s + 2 2 + 9 - 2 · 1 s + 2 2 + 9

Passo 2

Podemos aplicar a propriedade de linearidade de Laplace e aplicar a transformada inversa em casa uma das parciais.

L - 1 I s = L - 1 2 · s + 2 s + 2 2 + 9 - L - 1 2 · 1 s + 2 2 + 9

Vamos analisar separadamente.

L - 1 2 · s + 2 s + 2 2 + 9 = L - 1 2 · ( s + 2 ) s + 2 2 + 3 ²

Essa parcela é muito parecida com a transformada de e - a t c o s ⁡ ( ω t ) , onde:

L - 1 e - a t cos ⁡ ω t = ( s + a ) s + a 2 + ω 2

Logo...

L - 1 2 · ( s + 2 ) s + 2 2 + 3 ² = 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t

Passo 3

Analisando a segunda parcial de I ( s ) .

L - 1 2 · 1 s + 2 2 + 9 = L - 1 2 3 · 3 s + 2 2 + 3 ²

Essa parcial se parece muito com a transformada de e - a t s e n ⁡ ( ω t ) , onde.

L - 1 e - a t s e n ω t = ω s + a 2 + ω 2

Logo...

L - 1 2 3 · 3 s + 2 2 + 3 ² = 2 3 e - 2 t s e n 3 t

Juntando tudo em L - 1 I s , temos.

L - 1 I s = L - 1 2 · s + 2 s + 2 2 + 9 - L - 1 2 · 1 s + 2 2 + 9

L - 1 I s = L - 1 2 · s + 2 s + 2 2 + 3 2 - L - 1 2 3 · 3 s + 2 2 + 3 2

L - 1 I s = i ( t ) = 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t - 2 3 e - 2 t s e n 3 t .

Tranquilo, né? 😉

Resposta

L - 1 I s = i ( t ) = 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t - 2 3 e - 2 t s e n 3 t .